BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Phương trình vô tỷ có chứa phần nguyên trong đề thi Huế
- 30/10/2017
- 322 lượt xem
Giải phương trình:
$$\left[ x \right] – 2011\sqrt x + 2012 = 0$$
Trích đề thi HSG Thừa Thiên Huế năm 2011-2012.
Với điều kiện $x \geq 0$. Đặt $k=\left[x\right] \geq 0$. Phương trình trở thành:
$$\begin{array}{l} k – 2011\sqrt x + 2012 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{{k + 2012}}{{2011}} > 1\left( * \right)\\ \Rightarrow x = {\left( {\dfrac{{k + 2012}}{{2011}}} \right)^2} > 1 \end{array}$$
Theo lý thuyết về phần nguyên và điều kiện $x \geq 0$, ta được:
$$\begin{array}{l} 0 \le \left[ x \right] \le x < \left[ x \right] + 1 \Leftrightarrow 0 \le k \le x < k + 1\\ \Rightarrow k \le {\left( {\dfrac{{k + 2012}}{{2011}}} \right)^2} < k + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {k^2} + \left( {4024 – {{2011}^2}} \right)k + {2012^2} \ge 0\\ {k^2} + \left( {4024 – {{2011}^2}} \right)k + {2012^2} < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4040095 \le k \le 400096 \end{array}$$
Thế giá trị của $k$ vào (*), ta được nghiệm $x=4040096,002$.
Chia sẻ
About TailieuCasio
