BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{32}$
- 24/03/2025
- 181 lượt xem
Đặt vấn đề. Trong bài thi HSG MTCT THCS TP HCM năm 2024 có một bài toán như sau:
|
Bài toán này đặt ra cho chúng ta nhiều suy nghĩ:
1. Thế nào là số nguyên lớn nhất không vượt quá một số thực $x$? Số này có phải là phần nguyên của $x$ không?
2. Máy tính Casio fx-880BTG hiển thị kết quả của phép tính $(2+\sqrt3)^{32}$ dưới dạng một số nguyên. Vì sao có kết quả này và giá trị chính xác của nó là bao nhiêu? Thực hiện trên máy tính Casio fx-880BTG như thế nào để nhanh chóng thu được kết quả chính xác?
Ta nói về câu 2. trước.
Giá trị xấp xỉ của số $x$ là:
Phần nguyên có 19 chữ số. Máy tính Casio fx-880BTG có khả năng hiển thị đến 23 chữ số nên nó chỉ hiển thị được thêm 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy, từ chữ số thứ 5 trở đi nó sẽ làm tròn. Nhưng chữ số thứ 5 này lại là số 9 nên nó làm tròn thành 10 và theo hiệu ứng “đô-mi-nô” tất cả số 9 đứng trước sẽ làm tròn thành 10 hết. Cuối cùng phần nguyên sẽ tăng lên 1 đơn vị. Đây là lý do máy tính hiển thị kết quả thành số nguyên $$2005956546822746114.$$
Ta có: $\qquad \qquad (2+\sqrt3)^{32} =\underbrace{(2+\sqrt3)^{32}+(2-\sqrt3)^{32}}_{B} -\underbrace{(2-\sqrt3)^{32}}_{C}$
$B$ là một số nguyên và máy tính Casio fx-880BTG hiển thị chính xác số nguyên này là
$2005956546822746114$.
$C$ khá nhỏ, xấp xỉ bằng $0$, cụ thể bằng 
.
Do đó phần nguyên của $x=(2+\sqrt3)^{32}$ bằng $B$ trừ đi $1$. Vậy phần nguyên của $x$ là $$2005956546822746113$$
Câu 1. Cho $x$ là một số thực và viết dưới dạng một số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn). Trong tất cả các số nguyên nhỏ hơn hay bằng $x$ ta chọn số nguyên lớn nhất. Số nguyên lớn nhất này ta gọi là giá trị sàn (floor) của $x$, ký hiệu là $\lfloor x\rfloor$ .
$$\lfloor -2,4 \rfloor =-3, \quad \lfloor 2,8 \rfloor =2, \quad \lfloor 1 \rfloor =1$$
Trên máy tính Casio fx-880BTG giá trị sàn được ký hiệu là 
.
Chú ý: Giá trị sàn của $x$ không phải là phần nguyên của $x$ (phần đứng trước dấu phẩy thập phân)  . |
| Tuy nhiên nếu $x$ là số dương thì giá trị sàn của $x$ bằng phần nguyên của $x$. |
 Kỳ sau ta sẽ nói về đề thi HSG MTCT THCS 2025 về giá trị trần (ceiling) của $x$. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
