MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG ĐỀ THI HSG MÁY TÍNH CẦM TAY- PHẦN 1

Bài 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức ${{(5x+\sqrt{7})}^{11}}$

Hướng dẫn giải

Ta có \[{{(5x+\sqrt{7})}^{11}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{(5x)}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{11}{C_{11}^{k}{{5}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{{x}^{k}}\]

Hệ số của số hạng tổng quát ${{a}_{k}}=C_{11}^{k}{{.5}^{k}}{{(\sqrt{7})}^{11-k}};k\in \mathbb{Z},0\le k\le 11$

Xét

$\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}<1$$\Leftrightarrow   \dfrac{C_{11}^{k}{{.5}^{k}}.{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{C_{11}^{k+1}{{.5}^{k+1}}.{{(\sqrt{7})}^{10-k}}}<1$ $\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{k+1}{11-k}<1$ $\Rightarrow k<6,8$

$\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}>1$$\Leftrightarrow   \dfrac{C_{11}^{k}{{.5}^{k}}.{{(\sqrt{7})}^{11-k}}}{C_{11}^{k+1}{{.5}^{k+1}}.{{(\sqrt{7})}^{10-k}}}>1$$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{k+1}{11-k}>1$$\Rightarrow k>6,8$

Vì  $k\in \mathbb{Z},0\le k\le 11$ nên ta có: ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<…<{{a}_{6}}$ và ${{a}_{7}}>{{a}_{8}}>…>{{a}_{11}}$

Mặt khác $\dfrac{{{a}_{6}}}{{{a}_{7}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{5}.\dfrac{7}{5}<1\Rightarrow {{a}_{6}}<{{a}_{7}}$

Từ đó suy ra $\max \{{{a}_{k}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }={{a}_{7}}=C_{11}^{7}{{.5}^{7}}.{{(\sqrt{7})}^{4}}$

image001

Bài 2. Cho khai triển nhị thức (a + b)n với a, b ¹ 0 theo công thức Niu-tơn. Gọi ba số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba của khai triển lần lượt là $p,\,\,q,\,\,r.$ Biết $17{{q}^{2}}=36pr.$Tính tổng S tất cả các hệ số của khai triển.

Hướng dẫn giải

\[{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}\]

Ba số hạng đầu tiên theo thứ tự là $p=C_{n}^{0}{{a}^{n}},q=C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b,r=C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}$

Từ giả thiết suy ra $17{{\left( C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b \right)}^{2}}=36.C_{n}^{0}{{a}^{n}}.C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}$

Hay $17{{\left( C_{n}^{1} \right)}^{2}}=36.C_{n}^{0}.C_{n}^{2}\Leftrightarrow 17{{n}^{2}}=36.\dfrac{n(n-1)}{2}$$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-18n=0\Leftrightarrow n=18$

Tổng tất cả các hệ số của khai triển là $S$

\[S=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}+…+C_{18}^{18}={{2}^{18}}= 262144\]

image002 hoặc image003

Bài 3. Tính tổng \[S=2C_{18}^{1}+{{2}^{3}}C_{18}^{3}+{{2}^{5}}C_{18}^{5}+…+{{2}^{17}}C_{18}^{17}\].

Hướng dẫn giải

Cách 1.

Xét nhị thức ${{(1+x)}^{18}}=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}x+C_{18}^{2}{{x}^{2}}+…+C_{18}^{17}{{x}^{17}}+C_{18}^{18}{{x}^{18}}$

x = 2 ta được ${{3}^{18}}=C_{18}^{0}+C_{18}^{1}3+…+C_{18}^{17}{{3}^{17}}+C_{18}^{18}{{3}^{18}}$      (1)

x = -2 ta được ${{(-1)}^{18}}=C_{18}^{0}-C_{18}^{1}3+…-C_{18}^{17}{{3}^{17}}+C_{18}^{18}{{3}^{18}}$ (2)…

Từ đó nên (1) – (2) ta được kết quả S

\[\,\,S=\dfrac{1}{2}({{3}^{18}}-1)=193710244\]

image004

Cách 2.

\[S=2C_{18}^{1}+{{2}^{3}}C_{18}^{3}+{{2}^{5}}C_{18}^{5}+…+{{2}^{17}}C_{18}^{17}=\sum\limits_{x=0}^{8}{{{2}^{2x+1}}C_{18}^{2x+1}}\]

image005

Mọi ý kiến đóng góp và các câu hỏi thắc mắc về các bài viết hướng dẫn giải toán casio cũng như các vấn đề về máy tính Casio fx 580vnx , bạn đọc có thể gởi tin nhắn trực tiếp về fanpage DIỄN ĐÀN TOÁN CASIO

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

d 1

Giải tiếp bài toán của Thầy Đang Nguyễn

  Gọi thêm hai đỉnh hình vuông là $E$ và $F$ như hình vẽ. Ta …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết