BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
GTLN và GTNN của hàm số $y=\dfrac{ax^2+bx+c}{a'x^2+b'x+c'}$
- 07/08/2024
- 227 lượt xem
|
$y=\dfrac{ax^2+bx+c}{a’x^2+b’x+c’}⇔ (a’y-a)x^2+(b’y-b)x+c’y-c=0$ $\Delta=(b’y-b)^2-4(a’y-a)(c’y-c)$ $\Delta=(b’^2-4a’c’)y^2+(4a’c+4c’a-2bb’)y+(b^2-4ac)$ Giải bất phương trình bậc hai $\Delta \geqslant 0$ ta tìm được tập giá trị của hàm số. Từ đó biết được GTLN và GTNN của hàm số đã cho. Chú ý: Hệ số của $y^2$ là biệt thức của mẫu $\Delta_m$, hệ số tự do là biệt thức của tử $\Delta_t$, hệ số bậc nhất “dễ nhớ”. |
 |
$\Delta_m=-4\times 0,3\times 1,9$, $\Delta_t=3,4^2-4\times 2,3\times 5,6$, hệ số bậc nhất: $4\times 2,3\times 1,9+4\times 0,3\times 5,6-0$
Vậy GTLN $\approx 8,5686$, GTNN $\approx 2,0454$.
 |
$x\sqrt{2021y-1}+y\sqrt{2023x-1}=2022xy\quad (1)$
Ta xét $x$ và $y$ đều khác $0$. Khi đó:
$(1) ⇔ \dfrac{\sqrt{2021y-1}}{y}+\dfrac{\sqrt{2023x-1}}{x}=2022$
Xét hàm số $u=\dfrac{2023x-1}{x^2} ⇔ ux^2-2023x+1=0$
$\Delta_1=2023^2-4u \geqslant 0 ⇔ u \leqslant \dfrac{2023^2}{4} ⇔ \dfrac{\sqrt{2023x-1}}{x} \leqslant \dfrac{2023}{2}\quad (1)$
Xảy ra dấu “bằng” (phương trình bậc hai có nghiệm kép) khi và chỉ khi $x=\dfrac{2023}{2u}=\dfrac{2023}{\dfrac{2023^2}{2}}=\dfrac{2}{2023}$.
Hoàn toàn tương tự: $\dfrac{\sqrt{2021y-1}}{y} \leqslant \dfrac{2021}{2}\quad (2)$,
xảy ra dấu “bằng” khi và chỉ khi $y=\dfrac{2}{2021}$.
Từ (1) và (2) ta suy ra $\dfrac{\sqrt{2021y-1}}{y}+\dfrac{\sqrt{2023x-1}}{x}\leqslant \dfrac{2021}{2}+\dfrac{2023}{2}=2022$.
Vì đề bài cho xảy ra dấu “bằng” nên các bất đẳng thức (1) và (2) xảy ra dấu “bằng”. Vậy $x=\dfrac{2}{2023}; y=\dfrac{2}{2021}$.
Khi đó: 
Lưu ý: Thí sinh có thể áp dụng BĐT $ab\leqslant \dfrac{a^2+b^2}{2}$ khi chứng minh các BĐT (1) và (2).
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
