BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải phần số học thi HSG MTCT Quận 1 - 2024
- 09/10/2024
- 1,285 lượt xem
| Câu 1: Tìm 3 chữ số tận cùng của số $71^{500001}+2029^{5^9}$ |
Ta có $71^{50}=71^{5.5.2}=\left(\left(71^5\right)^5\right)^2$
Vậy $71^{50} \equiv 1 \ \text{mod}\ 1000 ⇒ 71^{500000} \equiv 1 \ \text{mod}\ 1000$.
Do đó 3 chữ số tận cùng của $71^{500001}$ là $071$ .
$2029^{5^9}=2029^{5.5.5.5.5.5.5.5.5}=\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(\left(2029^5\right)^5\right)^5\right)^5 \right)^5\right)^5\right)^5\right)^5\right)^5$
Nhập số 
nhập biểu thức 
Nhấn OK 9 lần 
.
Vậy 3 chữ số tận cùng của số $2029^{5^9}$ là $749$.
Do đó ba chữ số tận cùng của số đã cho trong đề bài là $71+749=820$.
| Câu 4: Tìm dư của phép chia số $(2+3\sqrt5)^{40}+(2-3\sqrt5)^{40}$ cho $2024$. |
Ta có: $$(2+3\sqrt5)^{40}+(2-3\sqrt5)^{40}=\left[(2+3\sqrt5)^{20}+(2-3\sqrt5)^{20}\right]^2-2.(-41)^{20}$$
Ta có: 
Nhập kết quả trên với 19 chữ số vào máy tính và lưu vào biến nhớ A 
Vậy $(2+3\sqrt5)^{20}+(2-3\sqrt5)^{20}\equiv 178\ \text{mod}\ 2024 $.
$(-41)^{20}=\left(41^{10}\right)^2$ 
.
Vậy $41^{20}\equiv 265\ \text{mod}\ 2024 $ .
Do đó $(2+3\sqrt5)^{40}+(2-3\sqrt5)^{40}\equiv 178^2-2.265\ \text{mod}\ 2024 $ 
Vậy dư của phép chia số $(2+3\sqrt5)^{40}+(2-3\sqrt5)^{40}$ cho $2024$ là $794$.
 |
Ta có: $B=8238^{8135}$q $+2748^{4112}+1924$ (q là thương của phép chia $B$ cho $8238^{8135}$).
Vì $8238$ chia hết cho $1373$ nên dư của phép chia $B$ cho $1373$ cũng chính là dư của phép chia số $2748^{4112}+1924$ cho $1373$.
Ta có: $4^6=4096$ nên $2748^{4112}=2748^{4^6+16} \equiv 2^{4^6}.2^{16}\ \text{mod}\ 1373 $ (do $2748\equiv 2\ \text{mod}\ 1373)$.
$2^{4^6}=2^{4.4.4.4.4.4}=\left(\left(\left(\left(\left(2^4\right)^4\right)^4\right)^4\right)^4\right)^4$
nhấn OK 6 lần 
Vậy $2^{4^6} \equiv 475\ \text{mod}\ 1373 $.
$2^{16} \equiv 1005\ \text{mod}\ 1373 $ 
Vậy dư của phép chia số $B$ cho $1373$ là $122$
About TS. Nguyễn Thái Sơn
