BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Đường tròn Ơ-le và áp dụng
- 11/09/2022
- 256 lượt xem
| Cho tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A, B, C$ đến $BC, CA, AB.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$ và $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $HA, HB, HC$ với $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh 9 điểm $D, E, F, M, N, P, I, J, K$ nằm trên một đường tròn. |
Chứng minh.
Xét đường tròn $(\cal{E})$ đường kính $IM$. Ta thấy ngay $D \in (\cal{E})$.
Ta có $IN/\!/HC$ (đường trung bình của tam giác $HAC$.
$MB/\!/ AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$.
Mà $HC \perp AB$ nên $NI\perp NM$ do đó $N \in (\cal{E})$.
Chứng minh tương tự $P, J, K \in (\cal{E})$.
Ta có: $NM /\!/ AB, MJ /\!/ CH$ suy ra $MN\perp MJ$ do đó $NJ$ là đường kính của $(\cal{E})$. Tam giác $EJN$ vuông tại $E$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $NJ$ tức là $E\in (\cal{E})$.
Tương tự: $F \in (\cal{E})$.
Tóm lại 9 điểm $D, E, F, I, J, K, M, N, P$ nằm trên đường tròn $(\cal{E})$.
Chia sẻ
About TS. Nguyễn Thái Sơn
