Đường tròn Ơ-le và áp dụng

 

Cho tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A, B, C$ đến $BC, CA, AB.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$ và $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $HA, HB, HC$ với $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh 9 điểm $D, E, F, M, N, P, I, J, K$ nằm trên một đường tròn.

 

hinh6

 

 

Chứng minh.

 

Xét đường tròn $(\cal{E})$ đường kính $IM$. Ta thấy ngay $D \in (\cal{E})$.
 
Ta có $IN/\!/HC$ (đường trung bình của tam giác $HAC$.
 
$MB/\!/ AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$.
 
Mà $HC \perp AB$ nên $NI\perp NM$ do đó $N \in (\cal{E})$.
 
Chứng minh tương tự $P, J, K \in (\cal{E})$.
 
Ta có: $NM /\!/ AB, MJ /\!/ CH$ suy ra $MN\perp MJ$ do đó $NJ$ là đường kính của $(\cal{E})$. Tam giác $EJN$ vuông tại $E$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $NJ$ tức là $E\in (\cal{E})$.
 
Tương tự: $F \in (\cal{E})$.
 

Tóm lại 9 điểm $D, E, F, I, J, K, M, N, P$ nằm trên đường tròn $(\cal{E})$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Phép giải tam giác khi biết một chiều cao (bài 2)

2019. Cho tam giác ABC có các góc A, C nhọn; BC = 3,5; đường …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết