Đường tròn Ơ-le và áp dụng

 

Cho tam giác $ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $A, B, C$ đến $BC, CA, AB.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC, CA, AB$ và $I, J, K$ lần lượt là trung điểm của $HA, HB, HC$ với $H$ là trực tâm của tam giác. Chứng minh 9 điểm $D, E, F, M, N, P, I, J, K$ nằm trên một đường tròn.

 

hinh6

 

 

Chứng minh.

 

Xét đường tròn $(\cal{E})$ đường kính $IM$. Ta thấy ngay $D \in (\cal{E})$.
 
Ta có $IN/\!/HC$ (đường trung bình của tam giác $HAC$.
 
$MB/\!/ AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$.
 
Mà $HC \perp AB$ nên $NI\perp NM$ do đó $N \in (\cal{E})$.
 
Chứng minh tương tự $P, J, K \in (\cal{E})$.
 
Ta có: $NM /\!/ AB, MJ /\!/ CH$ suy ra $MN\perp MJ$ do đó $NJ$ là đường kính của $(\cal{E})$. Tam giác $EJN$ vuông tại $E$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $NJ$ tức là $E\in (\cal{E})$.
 
Tương tự: $F \in (\cal{E})$.
 

Tóm lại 9 điểm $D, E, F, I, J, K, M, N, P$ nằm trên đường tròn $(\cal{E})$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng bảng tính tìm nghịch đảo modulo $a$ của số $b$.

  Định nghĩa: Nghịch đảo modulo $a$ của số $b$ là một số $c$ sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết