Dùng định lý Mê-nê-la-uýt trong phép giải tam giác

Cập nhật lại một bài viết đã cũ chuẩn bị cho kỳ thi HSG MTCT TP HCM 2023

Bài toán:
abchsg

Hãy xét tam giác $BHC$. Một cát tuyến cắt ba cạnh BH , HC , CB lần lượt tại $K, A, M$.
Khi đó ta có $$\dfrac{MB}{MC}\times \dfrac{AC}{AH}\times\dfrac{KH}{KB}=1$$
abchsg1

 

Áp dụng vào bài toán:

 

Trong tam giác $ABC$ ta có: $$\dfrac{AB}{\sin C}=2R\Rightarrow AB=2R.\sin C=2R.\dfrac{BH}{BC} $$

hinh1a

(lưu vào biến nhớ A)

Vì $A$ và $C$ là các góc nhọn nên $H$ thuộc đoạn $AC$. Do đó:
$$AC=AH+HC=\sqrt{AB^2-BH^2}+\sqrt{BC^2-BH^2}$$
hinh1b

(lưu vào biến nhớ B)

Trong tam giác $ABC$ trung tuyến $AM$ ta có:
$$AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac{BC^2}{2}\Leftrightarrow AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$$
hinh1c

(lưu vào biến nhớ C)

$$R_{ABM}=\dfrac{AB.BM.MA}{4S_{ABM}}$$
hinh1d

(lưu vào biến nhớ D)

Bây giờ ta mới sử dụng định lý Mê-nê-la-uýt để tính $\dfrac{KH}{KB}$
hinh1e

(lưu vào biến nhớ E)

$$S_{CHKM}=S_{BHC}-S_{BKM}=\left(1-\dfrac{BK}{BH}.\dfrac{BM}{BC}\right)S_{BHC}$$

Ta có: $\dfrac{KH}{BK}=E\Rightarrow \dfrac{2.7-BK}{BK}=E$

 

Do đó: $BK=$hinh1g
(lưu vào biến nhớ F)

 

Vậy $S_{CHKM}=$hinh1h

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Một kỹ thuật chứng minh tam giác đồng dạng và áp dụng

Giả sử ta có hai tam giác đồng dạng $ABC$ và $A’B’C’$ , các góc …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết