Đa thức với hệ số tự nhiên
- 25/12/2024
- 972 lượt xem
Bài toán. Cho $f(x)$ là một đa thức với các hệ số là số tự nhiên nhỏ hơn $a$, $f(a)=b$ sao cho $$b<a^4<ab+a-b.$$ Hãy xác định đa thức đó. (tất nhiên $a$ và $b$ là các số cụ thể) |
Lời giải sau đây chỉ để tham khảo, thí sinh chỉ cần nhớ các công thức màu xanh (blue). Đặc biệt xem bài tập vận dụng. |
Ta có: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
Vì các $a_i<a$ nên $f(x)<a\left(x^n+x^{n-1}+\dots+x^3+x^2+x+1\right)=a.\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$.
Thay $f(a)=b$ vào bất đẳng thức ta có: $b<\dfrac{a^{n+2}-a}{a-1}$.
Suy ra $$n>-2+\log_a(ab+a-b)>2\ \text{vì} \ ab+a-b>a^4.$$ $\big($ đối với học sinh lớp 9, giải $n$ lớn hơn nghiệm của phương trình $b=\dfrac{a^{n+2}-1}{a-1}$ (dùng Solver để giải)$\big)$.
Vậy $n>2$. Ta chứng minh $n$ không thể lớn hơn hay bằng $4$. Nếu $f(x)$ là một đa thức bậc từ $4$ trở lên, nghĩa là tồn tại $a_i\ne 0$ sao cho $i \geqslant 4$ thì:
$b=f(a) \geqslant a_i.a^i \geqslant a^4$ (vì $a_i\geqslant 1, i \geqslant 4$). Điều này mâu thuẩn với giả thiết $a^4>b$.
Từ đây ta suy ra $n=3$ và $f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.
$b=f(a)=a^3.a_3+a^2.a_2+a.a_1+a_0$ $\geqslant a^3.a_3 ⇒ a_3 \leqslant \dfrac{b}{a^3}$
Vì $a_3$ là số tự nhiên nằm giữa $1$ và $\dfrac{b}{a^3}$ nên ta có thể suy ra $a_3$. Nếu có nhiều giá trị $a_3$ ta loại dần nhờ biết $a_2\leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.
Khi đó $a^3a_3+a^2a_2+a.a_1+a_0=b \geqslant a^3.a_3+a^2.a_2 ⇒$ $a_2 \leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ . Vì $a_2$ là số tự nhiên nằm giữa $0$ và $\dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ nên ta có thể suy ra $a_2$. Nếu có nhiều giá trị $a_2$ ta loại dần nhờ biết $a_1\leqslant \dfrac{b-a^3a_3-a^2a_2}{a}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.
Cuối cùng: $a.a_1+a_0=b-(a_3a^3+a_2a^2)$ . Dựa vào bất đẳng thức này ta có thể suy ra $a_1, a_0$.
Vận dụng 1.![]() |
Kiểm tra điều kiện về $a$ và $b$: Lưu $11, 2024$ lần lượt vào A và B.
Vậy $$b<a^4<ab+a-b$$
Tính $n$ . Vậy $n=3$.
Tính $a_3$ . Vậy $a_3=1$.
Tính $a_2$ . Ta nhận thấy $a_2=5$ mới thỏa điều kiện
$a_1=$ là số tự nhiên nhỏ hơn 11.
Tính $a_1$. Ta có: $a.a_1+a_0=11a_1+a_0=$ ta suy ra $a_1=8$ và $a_0=0$.
Tóm lại $f(x)=x^3+5x^2+8x$. Khi đó
Vận dụng 2. Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$. |
Kiểm tra điều kiện: $b<a^4<ab+a-b$
Tính $n$ . Vậy $n=3$.
Tính $a_3$:
Ban đầu $a_3=2$ hay $a_3=1$, sau đó thử lại thấy $a_3=2$ thỏa (vì $a_2$ tương ứng là số tự nhiên nhỏ hơn $5$).
Vậy $a_3=2$.
Tính $a_2$ . Vậy $a_2=0$.
Tính $a_1$ và $a_0$: Ta có: $a.a_1+a_0 =5a_1+a_0=$ nên $a_1=1, a_0=4$.
Kết luận $P(x)=2x^3+x+4$.
$P(2025)=16607533279$