Đa thức với hệ số tự nhiên

Bài toán. Cho $f(x)$ là một đa thức với các hệ số là số tự nhiên nhỏ hơn $a$, $f(a)=b$ sao cho $$b<a^4<ab+a-b.$$ Hãy xác định đa thức đó. (tất nhiên $a$ và $b$ là các số cụ thể)

 

Lời giải sau đây chỉ để tham khảo, thí sinh chỉ cần nhớ các công thức màu xanh (blue). Đặc biệt xem bài tập vận dụng.

 

Ta có: $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.

Vì các $a_i<a$ nên $f(x)<a\left(x^n+x^{n-1}+\dots+x^3+x^2+x+1\right)=a.\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$.

Thay $f(a)=b$ vào bất đẳng thức ta có: $b<\dfrac{a^{n+2}-a}{a-1}$.

Suy ra $$n>-2+\log_a(ab+a-b)>2\ \text{vì} \ ab+a-b>a^4.$$ $\big($ đối với học sinh lớp 9, giải $n$ lớn hơn nghiệm của phương trình $b=\dfrac{a^{n+2}-1}{a-1}$ (dùng Solver để giải)$\big)$.

Vậy $n>2$. Ta chứng minh $n$ không thể lớn hơn hay bằng $4$. Nếu $f(x)$ là một đa thức bậc từ $4$ trở lên, nghĩa là tồn tại $a_i\ne 0$ sao cho $i \geqslant 4$ thì:
$b=f(a) \geqslant a_i.a^i \geqslant a^4$ (vì $a_i\geqslant 1, i \geqslant 4$). Điều này mâu thuẩn với giả thiết $a^4>b$.
 
Từ đây ta suy ra $n=3$ và $f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$.

$b=f(a)=a^3.a_3+a^2.a_2+a.a_1+a_0$ $\geqslant a^3.a_3 ⇒ a_3 \leqslant \dfrac{b}{a^3}$

Vì $a_3$ là số tự nhiên nằm giữa $1$ và $\dfrac{b}{a^3}$ nên ta có thể suy ra $a_3$. Nếu có nhiều giá trị $a_3$ ta loại dần nhờ biết $a_2\leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.

Khi đó $a^3a_3+a^2a_2+a.a_1+a_0=b \geqslant a^3.a_3+a^2.a_2 ⇒$ $a_2 \leqslant \dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ . Vì $a_2$ là số tự nhiên nằm giữa $0$ và $\dfrac{b-a^3a_3}{a^2}$ nên ta có thể suy ra $a_2$. Nếu có nhiều giá trị $a_2$ ta loại dần nhờ biết $a_1\leqslant \dfrac{b-a^3a_3-a^2a_2}{a}$ là số tự nhiên nhỏ hơn $a$.

 

Cuối cùng: $a.a_1+a_0=b-(a_3a^3+a_2a^2)$ . Dựa vào bất đẳng thức này ta có thể suy ra $a_1, a_0$.
 
 

Vận dụng 1.
dat1 1

 

Kiểm tra điều kiện về $a$ và $b$: Lưu $11, 2024$ lần lượt vào A và B.
dat2 2

Vậy $$b<a^4<ab+a-b$$
Tính $n$ dat3 1. Vậy $n=3$.
 

Tính $a_3$ dat4 1. Vậy $a_3=1$.
 

Tính $a_2$ dat5 2. Ta nhận thấy $a_2=5$ mới thỏa điều kiện
 
$a_1=$ dat8là số tự nhiên nhỏ hơn 11.

Tính $a_1$. Ta có: $a.a_1+a_0=11a_1+a_0=$ dat6 1 ta suy ra $a_1=8$ và $a_0=0$.
 
Tóm lại $f(x)=x^3+5x^2+8x$. Khi đó dat7 1
 
 

Vận dụng 2. Cho đa thức $P(x)$ có tất cả các hệ số đều là số tự nhiên, nhỏ hơn $5$, thỏa mãn điều kiện $P(5)=259$. Tính $P(2025)$.

 

Kiểm tra điều kiện: $b<a^4<ab+a-b$ dat99

Tính $n$ dat9. Vậy $n=3$.

Tính $a_3$:
dat10
 
Ban đầu $a_3=2$ hay $a_3=1$, sau đó thử lại thấy $a_3=2$ thỏa (vì $a_2$ tương ứng là số tự nhiên nhỏ hơn $5$).
 

Vậy $a_3=2$.
 

Tính $a_2$ dat11. Vậy $a_2=0$.
 

Tính $a_1$ và $a_0$: Ta có: $a.a_1+a_0 =5a_1+a_0=$ dat12 nên $a_1=1, a_0=4$.
 

Kết luận $P(x)=2x^3+x+4$.
 

$P(2025)=16607533279$ ll1b

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài Viết Tương Tự

Bổ sung về dãy số quy nạp

Trong thời gian qua nhiều thầy cô trên Cộng đồng GV Casio đã hướng dẫn …