Các bài toán xác suất cơ bản

Quy tắc cơ bản của phép đếm. Phần 1 – Đếm các số tự nhiên tạo thành từ các chữ số.

 

Bài 1:

Screenshot From 2024 12 15 20 43 19

 

GIẢI

Gọi A là biến cố mà 2 số được chọn có tổng là một số chẵn.
 
Số phần tử của không gian mẫu (là số cách chọn 2 phần tử từ 25 phần tử đã cho): $C^2_{25}$
 
Số phần tử của tập hợp A. Có hai trường hợp.
 
TH1: Chọn 2 số lẻ từ 13 số lẻ. Số cách chọn là $C^2_{13}$

TH2: Chọn 2 số chẵn từ 12 số chẵn. Số cách chọn là $C^2_{12}$

Vậy số phần tử của tập hợp A là $C^2_{13}+C^2_{12}$

Do đó

$P(A)=\dfrac{C^2_{13} +C^2_{12}}{C^2_{25}}$

 

Bài 2:

Screenshot From 2024 12 15 21 06 11

 

 
Gọi A là biến cố mà số được chọn không có 2 chữ số liên tiếp là chữ số chẵn.
 Để đếm số phần tử của không gian mẫu ta lấy 4 chữ số từ 9 chữ số xếp vào vị trí rồi hoán vị, số cách thực hiện là: $C^4_9\times 2!=A^4_9$ (trên máy tính Casio fx-880BTG ta nhập $A^4_9$ bằng 9P4).
 

Ta đếm số cách chọn thoả yêu cầu bài toán:
 

TH1: 4 số được chọn đều là chữ số lẻ. Số cách chọn là $A^4_5$
 
TH2: 4 số được chọn có 3 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn. Số cách chọn là $C^3_5\times C^1_4\times 4!$
 
TH3: 4 số được chọn có 2 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn.
 
Số cách chọn 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ để lập ra số có 4 chữ số là $C^2_5\times C^2_4\times 4!$. Sau đó ta đếm trong những số nói trên có bao nhiêu số vi phạm ycbt, nghĩa là có 2 chữ số chẵn liên tiếp.
 
Hai chữ số chẵn liên tiếp lập thành một số, số các số này là $A^2_4$, chọn thêm 2 chữ số lẻ, số cách chọn là $C^2_5$. Như vậy ta được 3 “số”, ta đem 3 “số” này đặt vào 3 vị trí, số cách đặt là $3!$. Vậy số cách thành lập các số có 4 chữ số trong đó có 2 chữ số chẵn liên tiếp là: $A^2_4\times C^2_5\times 3!$.

Vậy số cách chọn trong TH3 là $C^2_5\times C^2_4\times 4!-A^2_4\times C^2_5\times 3!$
 
Các trường hợp 4 chữ số được chọn có 3 chữ số chẵn hoặc 4 chữ số chẵn đều không thoả yêu cầu bài toán.
 
Vậy số phần tử của tập hợp A là: $A^4_5+C^3_5\times C^1_4\times 4! + C^2_5\times C^2_4\times 4!-A^2_4\times C^2_5\times 3!$.
 
Do đó

$P(A)=$ hsgm1a

 
 

Ví dụ 3:

hsgm1b 1

 

 

Ta chia $17$ số tự nhiên thuộc đoạn $[1;17]$ vào 3 tập hợp:
 
$X=\{3 , 6, 9, 12, 15\}$ các số tự nhiên chia hết cho $3$.
 
$Y=\{2 , 5, 8, 11, 14 , 17 \}$ các số tự nhiên chia cho $3$ còn dư $2$.
 
$Z=\{1 , 4, 7, 10, 13, 16\}$ các số tự nhiên chia cho $3$ còn dư $1$.
 
Số phần tử của không gian mẫu: viết $3$ số trong $17$ số (các số có thể trùng nhau), số cách viết là $17^3$.
 
Gọi A là biến cố 3 số viết ra có tổng chia hết cho $3$.
 
TH1: 3 số đều thuộc tập hợp $X$ (các số có thể trùng nhau), số cách viết là $5^3$.
 
TH2: 3 số đều thuộc tập hợp $Y$ (các số có thể trùng nhau), số cách viết là $6^3$.
 
TH3: 3 số đều thuộc tập hợp $Z$ (các số có thể trùng nhau), số cách viết là $6^3$.
 
TH4: 1 số thuộc tập hợp $X$, 1 số thuộc tập hợp $Y$ và 1 số thuộc tập hợp $Z$ rồi hoán vị. Số cách viết là $5\times 6\times 6\times 3!$.
 
Vậy số phần tử của tập hợp A là: $5^3+6^3+6^3+5\times 6\times 6 \times 3!$.
 
Vậy

$P(A)=$ hsgm1c

 
 
Bài 4

hsgm1f

 

Số phần tử của không gian mẫu.

Chọn chữ số trăm, số cách chọn là $9$ (không chọn chữ số $0$).
Chọn 2 chữ còn lại, số cách chọn là $A^2_{9}$. Vậy số phần tử của không gian mẫu là $9.A^2_9$.
 
Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là chẵn.
 

TH1: Chọn 3 chữ số đều chẵn, số cách chọn $A^3_5$, trong đó ta loại đi những số bắt đầu bằng $0$. Vậy số các số của trường hợp này là: $A^3_5-A^2_4$.
 
TH2: Chọn 2 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn. Số cách chọn là $C^2_5.C^1_5.3!$, trong đó ta loại bỏ đi những số bắt đầu bằng $0$, số các số này là $A^2_5$. Vậy số các số trong trường hợp 2 là $$C^2_5.C^1_5.3!-A^2_5$$.

$P(A)=$

 
 
 

Phần 2 – Đếm số người thỏa một hay nhiều yêu cầu nào đó.

 

Bài 5

hsgm1d

 

Xếp học sinh nam thứ nhất vào chọn chỗ ngồi, học sinh này có 6 cách chọn.
Xếp học sinh nam thứ hai vào chọn chỗ ngồi, học sinh này có 4 cách chọn (vì không được ngồi đối diện với học sinh nam thứ nhất). Xếp học sinh nam thứ ba vào chọn chỗ ngồi, học sinh này có 2 cách chọn (vì không được ngồi đối diện với học sinh nam thứ nhất và thứ hai).

Khi đó trong phòng còn 3 chỗ ngồi, xếp 3 học sinh nữ vào ngồi rồi hoán vị, số cách xếp là $3!$.

Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là $6.4.2.3!$

$P(A)=\dfrac{6.4.2.3!}{6!}$ hsgm1e

 
 

 
Bài 6

hsgm1l

 

 

Ta nhóm 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C thành “nhóm”, có hai loại nhóm:
 
Nhóm 1: Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B, có 2 nhóm thuộc loại này. Đem nhóm này “trộn” với 3 học sinh lớp A thành 4 bộ, đem 4 bộ này hoán vị ta có $2\times 4!$ cách xếp chỗ ngồi thỏa yêu cầu bài toán.
 
Nhóm 2: Học sinh lớp C ngồi đầu dãy, có 2 đầu dãy. Xếp 1 học sinh lớp B vào ngồi bên cạnh, có 2 cách xếp, còn lại 4 học sinh đem hoán vị ta có 4! hoán vị. Vậy có $2\times 2\times 4!$ cách xếp chỗ ngồi thỏa yêu cầu bài toán.
 

Áp dụng quy tắc cộng xác suất:

$P(A)=$ hsgm1m

 
 

Phần 3 – Đếm số vật thỏa một hay nhiều yêu cầu nào đó.

 

 
Bài 7

hsgm1y

 

 

Chọn 2 quả cầu từ 16 quả cầu số cách chọn là $C^2_{16}$. Vậy số phần tử của không gian mẫu là $C^2_{16}.$
 

Gọi A là biến hai quả cầu lấy ra khác màu. Khi đó biến cố phủ định $\overline{A}$ là biến cố hai quả cầu lấy ra cùng màu, nghĩa là cùng màu đỏ HOẶC cùng màu xanh.
 

TH1: 2 quả cầu được chọn là hai quả cầu đỏ, số cách chọn là: $C^2_{7}$.

TH2: 2 quả cầu được chọn là hai quả cầu xanh, số cách chọn là: $C^2_{9}$.

Hai mệnh đề nối với nahu bởi chữ HOẶC ta dùng quy tắc cộng.

Vậy số phần tử của $\overline{A}$ là $C^2_7+C^2_9$. Suy ra $$P(\overline{A})=\dfrac{C^2_7+C^2_9}{C^2_{16}}$$

Do đó:

$P(A)=1-P(\overline{A})=$ hsgm1g

 
 

 
Bài 8

hsgm1h

 

 

Hai số có tổng là chẵn khi chúng là hai số lẻ hoặc hai số chẵn. Hai số có tổng là số lẻ khi trong chúng là một số chẵn và một số lẻ.
 

Gọi A là biến cố hai quả cầu lấy ra khác màu có tổng là số chẵn. Khi đó biến cố phủ định $\overline{A}$ là biến cố hai quả quả cầu lấy ra cùng màu hoặc có tổng là số lẻ.
 

Xác suất của biến cố hai quả cầu lấy ra cùng màu (cùng màu xanh hoặc cùng màu đỏ): $P(B)=\dfrac{C^2_6+C^2_9}{C^2_{15}}$
Xác suất của biến cố hai quả cầu lấy ra có tổng là số lẻ là: $P(C)=\dfrac{C^1_3\times C^1_5+C^1_3\times C^1_4}{C^2_{15}}$

Áp dụng quy tắc cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố phủ định, ta có:

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-(P(B)+P(C))$= hsgm1i

 
 

 
Bài 9

hsgm1j

 

 

Gọi A là biến cố 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ. Khi đó biến cố phủ định $\overline{A}$ là biến cố 4 viên bi lấy ra không có viên bi đỏ nào, nghĩa là 4 viên lấy ra từ 9 viên xanh hoặc vàng.

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\dfrac{C^4_9}{C^4_{12}}$ hsgm1k

 
 
 
Bài 10

hsgna1

 

 

Ta đếm số phần tử của không gian mẫu, tức là số cách thành lập tổ. Chọn 3 người từ 9 người thành lập tổ 1, số cách chọn $C^3_9$, chọn 3 người từ 6 người còn lại thành lập tổ 2, số cách chọn $C^3_6$, chọn 3 người từ 3 người cuối cùng thành lập tổ 3, số cách chọn $C^3_3$, chọn 1 người trong 3 người đã được chọn để làm tổ trưởng, số cách chọn $(C^1_3)^3$. Vậy số phần tử của không gian mẫu là:
$$C^3_9\times C^3_6\times C^3_3\times (C^1_3)^3$$
 
Ta đếm số cách thành lập tổ mà tổ trưởng là bác sĩ. Chọn 3 bác sĩ từ 4 bác sĩ để cơ cấu làm tổ trưởng, số cách chọn tổ trưởng bác sĩ là $A^3_4$, sau đó chọn tiếp 2 thành viên, số cách chọn $C^2_6\times C^2_4\times C^2_2$. Vậy số phần tử của tập hợp A là $$A^3_3\times C^2_6\times C^2_4\times C^2_2$$

$P(A)=$ hsgm1n
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài Viết Tương Tự

Về một bài toán tìm 4 chữ số của số $\overline{abcd}$

Bài toán. Tìm số $\overline{abcd}$ biết rằng $$\overline{abcd}.\overline{dcba}=\overline{badac000}$$   Ta thấy $a.d$ chia hết cho …