BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Ba chữ số tận cùng của số Int$((2+\sqrt3)^{32})$
- 08/08/2024
- 649 lượt xem
 |
| Sau đây không phải là lời giải vì quá rườm rà, nó chỉ là sự trao đổi chuyên môn của tác giả với các thầy cô phụ trách đội tuyển để tìm một lời giải phù hợp với học lực lớp 9 của học sinh. |
Ta có: 
Ta biết $A=(2+\sqrt3)^{32}$ là một số vô tỉ dạng $a+b\sqrt3$, nghĩa là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nhưng máy tính hiển thị bằng một số nguyên. Vậy số nguyên $2005956546822746114$ này đã được làm tròn.
Có hai khả năng làm tròn:
TH1: Làm tròn lên, nghĩa là số đã cho có phần nguyên tận cùng bằng $113$ và phần thập phân ngay sau dấu phẩy gồm ít nhất 4 chữ số $9$ liên tiếp trước khi gặp một chữ số khác $9$.
TH2: Làm tròn xuống, nghĩa là số đã cho có phần nguyên tận cùng bằng $114$ và phần thập phân ngay sau dấu phẩy gồm ít nhất 4 chữ số $0$ liên tiếp trước khi gặp một số khác $0$. Trong trường hợp này $A>2005956546822746114$
Ta chứng minh không xảy ra trường hợp 2.
Ta có: $(a+b)^{2}=a^2+b^2+2.ab<2(a^2+b^2)$ (vì $2ab<a^2+b^2$ với $a, b$ tuỳ ý và $a\ne b$.)
Mở một bảng tính nhập $2$ vào $A_1$ và $\sqrt3$ vào $B_1$ 
.
Để tính $A=(2+\sqrt3)^{32}$ ta điền công thức cho cột A để có $a^2+b^2$ và điền công thức cho cột B để có $2ab$ (dòng dưới là bình phương của dòng trên).
Vì $a^2+b^2$ (giá trị mỗi dòng ở cột A) là số nguyên nên không bị làm tròn. 
Kết quả: 
Vậy $A=(2+\sqrt3)^{32} <2\times 1002978273411373057=2005956546822746114$. Mâu thuẩn với trường hợp 2.
Vậy phần nguyên của số $(2+\sqrt3)^{32}$ là $2005956546822746$$113$.
Giá trị đúng của $(2+\sqrt3)^{32}=$ 
Xem thêm một cách trình bày khác của lời giải trên
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
