5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$.

Đây từng là bài toán rất khó đối với học sinh và ngay cả một số giáo viên phụ trách đội tuyển.
 
Chúng tôi gợi ý cách giải như sau:
 
Trước hết ta nhận biết số
 

 

Vậy $$5^{2015}=\underbrace{5^{2^1}\times5^{2^2}\times5^{2^3}\times5^{2^4}\times5^{2^6}\times5^{2^7}\times5^{2^8}\times5^{2^{10}}}_{\large \text{số sau là bình phương của số trước, không kể số } 5^{2^6}}\times 5^1$$
Thao tác trên máy tính, kết hợp ghi ra giấy (sẽ nhanh hơn lưu vào các biến nhớ).

Lần đầu:

.

Các lần sau đều dùng:

Ta có:

$5^{2^1}\equiv 25\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^2}\equiv 625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^3}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^4}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^6}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^7}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^8}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^9}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^{10}}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{1}\equiv 5\ \text{mod}\ 10^5$

Nhận xét:
 

Ta có:
 

 
Gợi ý:

Hướng dẫn: Đáp số: $\ 41329$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.