5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$.

Bài toán: Tìm 5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$.

Đây từng là bài toán rất khó đối với học sinh và ngay cả một số giáo viên phụ trách đội tuyển.
 
Chúng tôi gợi ý cách giải như sau:
 
Trước hết ta nhận biết số
 

$$2015=\displaystyle\sum_{n=1}^{4}2^n+\sum_{n=6}^{10}2^n+1.$$

 
2015mu
Vậy $$5^{2015}=\underbrace{5^{2^1}\times5^{2^2}\times5^{2^3}\times5^{2^4}\times5^{2^6}\times5^{2^7}\times5^{2^8}\times5^{2^{10}}}_{\large \text{số sau là bình phương của số trước, không kể số } 5^{2^6}}\times 5^1$$
Thao tác trên máy tính, kết hợp ghi ra giấy (sẽ nhanh hơn lưu vào các biến nhớ).

Lần đầu:

5mu2.

Các lần sau đều dùng:

5mu2a

Ta có:

$5^{2^1}\equiv 25\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^2}\equiv 625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^3}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^4}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^6}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^7}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^8}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^9}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{2^{10}}\equiv 90625\ \text{mod}\ 10^5$

$5^{1}\equiv 5\ \text{mod}\ 10^5$

Nhận xét: 90625
 

Ta có: 906252
 

Vậy 5 chữ số cuối cùng của số $5^{2015}$ là $78125$.

 
Gợi ý:

Tìm 5 chữ số cuối cùng của số $23^{2022}$

 

Hướng dẫn: goiy Đáp số: $\ 41329$

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

1

GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN VIET VỚI CASIO fx- 580VN X

Trong bài viết dưới đây, Diễn đàn sẽ tổng hợp một số kiến thức cần nhớ về định lý Viete và một số bài toán minh họa nhằm giúp các bạn học sinh có thể ôn tập và rèn luyện thêm

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết