Đường thẳng Ơ-le và áp dụng
- 31/08/2021
- 644 lượt xem
Đường thẳng đi qua 3 điểm đó được gọi là đường thẳng Ơ-le.
Chứng minh.
Vẽ đường kính $AD$, gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có nhận xét tứ giác $BHCD$ là hình bình hành nên $M$ cũng là trung điểm $HD$. Tam giác $AHD$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM$ song song với $AH$. Gọi $G’$ là giao điểm của $AM$ và $OH$. Áp dụng định lý Ta-let vào hình thang $AHMO$ ta có $\dfrac{G’A}{G’H}=\dfrac{G’H}{G’O}=\dfrac{AH}{OM}=2$. Vậy $\dfrac{AG’}{AM}=\dfrac23$. Do đó $G’$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G’\equiv G$.
Tóm lại ba điểm $O, G, H$ thẳng hàng.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC và AK là đường kính. Chứng minh
- 1. $HA \big/\!\!\big/ OM$ và $HA = 2OM$
- 2. Đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho $\Delta ABC\ (AB < AC)$ có ba góc nhọn, các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.
- 1. Chứng minh:$\widehat{EDF}=\widehat{EMF}$ và tứ giác $EFDM$ nội tiếp.
- 2. Gọi $I$ là trung điểm $AH$. Chứng minh: $IE\perp EM$.
- 3. Dựng $EJ\perp EM\ (J\in AH)$. Chứng minh: $JA = JH $
- 4. Chứng minh 5 điểm $I, E, M, D, F$ nằm trên một đường tròn.