Đường thẳng Ơ-le và áp dụng

1. Trong một tam giác $ABC$ ba điểm sau đây thẳng hàng: Trọng tâm $G$, trực tâm $H$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$.
Đường thẳng đi qua 3 điểm đó được gọi là đường thẳng Ơ-le.

dte1

Chứng minh.

dte4

Vẽ đường kính  $AD$, gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có nhận xét tứ giác $BHCD$ là hình bình hành nên $M$ cũng là trung điểm $HD$. Tam giác $AHD$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM$ song song với $AH$. Gọi $G’$ là giao điểm của $AM$ và $OH$. Áp dụng định lý Ta-let vào hình thang $AHMO$ ta có $\dfrac{G’A}{G’H}=\dfrac{G’H}{G’O}=\dfrac{AH}{OM}=2$. Vậy $\dfrac{AG’}{AM}=\dfrac23$. Do đó $G’$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G’\equiv G$.

Tóm lại ba điểm $O, G, H$ thẳng hàng.

 

 

Đề thi tuyển sinh 10 năm 2011 – Khánh Hoà.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC và AK là đường kính. Chứng minh

  • 1. $HA \big/\!\!\big/ OM$ và $HA = 2OM$
  • 2. Đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

 

2. Đường tròn Ơ-le là đường tròn đi qua 9 điểm: trung điểm của ba cạnh, chân ba đường cao và các trung điểm của các đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trực tâm của tam giác.

dte2

 

Đề tuyển sinh 10 TP Hồ Chí Minh năm 2009 và 2016
 
Cho $\Delta ABC\ (AB < AC)$ có ba góc nhọn, các đường cao $AD, BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$.

  1. 1. Chứng minh:$\widehat{EDF}=\widehat{EMF}$ và tứ giác $EFDM$ nội tiếp.
  2. 2. Gọi $I$ là trung điểm $AH$. Chứng minh: $IE\perp EM$.
  3. 3. Dựng $EJ\perp EM\ (J\in AH)$. Chứng minh: $JA = JH $
  4. 4. Chứng minh 5 điểm $I, E, M, D, F$ nằm trên một đường tròn.

 
 
 

3. Ta chứng minh rằng đường thẳng Ơ-le đi qua tâm của đường tròn Ơ-le. Vậy đường thẳng Ơ-le đi qua 4 điểm $G,H,O,E$.

dte3

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Colorful Modern Retro General Mathematics Class Orientation Education Presentation

ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN SỐ

1.CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình bậc hai một ẩn số …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết