Chứng minh trung điểm dựa vào đường thẳng Steiner

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $M$ là một điểm tùy ý trên đường tròn. Goi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên ba cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác. Chứng minh 3 điểm $D, E, F$ thẳng hàng trên một đường thẳng mà ta gọi là đường thẳng Simson.

Chứng minh

Ta có: $\widehat{D_1}=\widehat{M_1}$ (cùng chắn cung $EC$ vì tứ giác $MDEC$ nội ttếp đường tròn đường kính $MC$).

$\widehat{M_1}=90^\circ -\widehat{MCA}$ nên $\widehat{D_1}=90^\circ -\widehat{MCA}\quad (1)$.

Tương tự $\widehat{D_2}=90^\circ -\widehat{MBF}\quad (2)$

Tứ giác $ABMC$ nội tiếp nên $\widehat{MCA}=\widehat{MBF}\quad (3)$.

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ suy ra ba điểm $D, E, F$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $M$ là một điểm tùy ý trên đường tròn. Goi $D’, E’, F’$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua ba cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác. Chứng minh 3 điểm $D’, E’, F’$ thẳng hàng trên một đường thẳng mà ta gọi là đường thẳng Steiner.

Chứng minh

Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên ba cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác. Khi đó $D, E, F$ cũng lần lượt là trumg điểm của các đoạn thẳng $MD’, ME’, MF’$ và 3 điểm $D, E, F$ thẳng hàng trêm đường thẳng Simson.

Theo định lý đường trung bình ta có:$$F’D’/\!/FD\ ,\ D’E’/\!/DE$$
Vì $D, E, F$ thẳng hàng nên $D’, E’, F’$ thẳng hàng.

Cho $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$. Vẽ $ME,MF$ lần lượt vuông góc $AC,AB$ tại $E, F$.Gọi $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$, đường thẳng $EF$ cắt $HM$ tại $I$. Chứng minh $I$ là trung điểm $HM$.

Chứng minh

Gọi $K$ là điểm đối xứng của $H$ qua $AC$. Khi đó $K$ nằm trên đường tròn $(O)$ (độc giả tự chứng minh điều này: đối xứng của trực tâm qua một cạnh thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp).

Gọi $E’, F’$ lần lượt là điểm đối xứng của $M$ qua các cạnh $AC$ và $AB$. Khi đó đường thẳng $E’F’$ là đường thẳng Steiner ứng với điểm $M$.

Ta chứng minh tứ giác $AHCE’$ nội tiếp. Thật vậy, $\widehat{AE’H}=\widehat{AMK}$ (chú ý sự đối xứng.)

$\widehat{AMK}=\widehat{ACK}$ (cùng chắn cung $AK$)

$\widehat{ACK}=\widehat{ACH}$ (chú ý sự đối xứng.)

Vậy $\widehat{AE’H}=\widehat{ACH}$ (đpcm).

Vì tứ giác nói trên nội tiếp nên $\widehat{AHE’}=\widehat{ACE’}=\widehat{ACM}$.

Hoàn toàn tương tự $\widehat{AHF’}=\widehat{ABF’}=\widehat{ABM}$

Vậy $\widehat{AHE’}+\widehat{AHF’}=\widehat{ACM}+\widehat{ABM}=180^\circ$. Suy ra $H$ nằm trên đường thẳng $E’F’$.

Bây giờ ta gọi $I’$ là trung điểm $HM$ . Khi đó $$I’F/\!/HF’\ , \ I’E/\!/HE’$$

Vì $F’, H, E’$ thẳng hàng nên $F, I’,E$ thẳng hàng, nghĩa là $I’$ là giao điểm của hai đường thẳng $FE$ và $HM$, do đó $I’\equiv I$. Kết luận $I$ là trung điểm $HM$.

Việc chứng minh dành cho bạn đọc. Về phương diện hình học lớp 11, đường tròn Euler là ảnh của đường tròn ngoại tiếp qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số vị tự là $\dfrac12$ (giống như việc photocopy thu nhỏ). Đối với hình học lớp 9 ta chứng minh tứ giác nội tiếp.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.