ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- BIỆN LUẬN NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
- 12/04/2019
- 65,471 lượt xem
Bài viết này sẽ tổng hợp các cơ sở lý thuyết để biện luận nghiệm cho các phương trình bậc 2, bên cạnh đó Diễn đàn sẽ đưa ra một số bài toán cụ thể để bạn đọc cùng tham khảo và ôn tập
Cơ sở lý thuyết
[dropshadowbox align=”none” effect=”lifted-both” width=”auto” height=”” background_color=”#ffffff” border_width=”1″ border_color=”#dddddd” ]ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2: $latex a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ \end{align} \right.$
Phương trình có hai nghiệm kép khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta =0,\left( {\Delta }’=0 \right) \\ \end{align} \right.$
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta <0,\left( {\Delta }'<0 \right) \\ \end{align} \right.$
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $latex \left\{ \begin{align} & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $latex P<0$ (khi $latex P<0$ thì hiển nhiên ta có $latex \Delta >0$ do đó ta không cần kiểm tra điều kiện $latex \Delta >0$)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}>0 \\ \end{align} \right.$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi $latex \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta >0,\left( {\Delta }’>0 \right) \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$
[/dropshadowbox]Bài toán 1. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0$ với $latex m$ là tham số
- Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
- Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.
- Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
- Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm âm.
- Tìm $latex m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm dương.
Hướng dẫn giải.
a. Phương trình $latex {{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+{{m}^{2}}-4m+3=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
$latex {\Delta }’\ge 0$ $latex \Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)\ge 0$ $latex \Leftrightarrow 6m-2\ge 0$ $latex \Leftrightarrow m\ge \dfrac{1}{3}$
Vậy khi $latex m\ge \dfrac{1}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm
b. Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi
$latex \left\{ \begin{align}& {\Delta }’>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}={{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\dfrac{1}{3} \\ & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{1}{3}<m<1 \\ & m>3 \\ \end{align} \right.$
Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $latex \dfrac{1}{3}<m<1$ hoặc $latex m>3$
c. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $latex P<0$$latex \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m+3<0$$latex \Leftrightarrow 1<m<3$
d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi
$latex \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\ & S<0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\ & 2\left( m+1 \right)<0 \\ & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$ $latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\dfrac{1}{3} \\ & m<-1 \\ & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow $ vô nghiệm
Vậy không tồn tại giá trị $latex m$ để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm âm
e. Phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
$latex \left\{ \begin{align} & {\Delta }’>0 \\ & S>0 \\ & P>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)>0 \\ & 2\left( m+1 \right)>0 \\ & {{m}^{2}}-4m+3>0 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>\dfrac{1}{3} \\ & m>-1 \\ & m<1\vee m>3 \\ \end{align} \right.$$latex \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \dfrac{1}{3}<m<1 \\ & m>3 \\ \end{align} \right.$
Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi $latex \dfrac{1}{3}<m<1$ hoặc $latex m>3$
Bài toán 2. Cho phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ với $latex x$ là ẩn số và $latex m$ là tham số
- Tìm $latex m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$
- Tìm $latex m$ để $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$
Hướng dẫn giải
a. Phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$khi và chỉ khi
$latex {\Delta }’>0$ $latex \Leftrightarrow {{b}^{2}}-ac>0$ $latex \Leftrightarrow 4-2\left( -3+m \right)>0$ $latex \Leftrightarrow 5-m>0\Leftrightarrow m<5$
Vậy với $latex m<5$ thì phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt
b. Xét phương trình $latex 2{{x}^{2}}-4x-3+m=0$ khi $latex m<5$
Theo định lý Viet ta có $latex \left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-3+m}{2} \\ \end{align} \right.$
Ta có: $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$$latex \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=8$ $latex \Leftrightarrow 4-\left( -3+m \right)=8$ $latex \Leftrightarrow m=-1$ (nhận)
Vậy với $latex m=-1$ thì $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=8$
Bài toán 3. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số
- Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi $latex m$
- Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm $latex m$ để $latex x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9$
Hướng dẫn giải
a. Ta có: $latex \Delta ={{\left( m-3 \right)}^{2}}+12m={{m}^{2}}+6m+9={{\left( m+3 \right)}^{2}}\ge 0\forall m$
Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi $latex m$(đpcm)
Theo định lý Viet ta có $latex \left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3-m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-3m \\\end{align} \right.$
Ta có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=9\\$
$\Leftrightarrow {{\left( 3-m \right)}^{2}}+9m=9\\$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+3m=0\\$
$\Leftrightarrow m\left( m+3 \right)=0\\$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& m=0 \\& m=-3 \\\end{align} \right.\\$
Nhận xét.
Với $latex m=0$ thì $latex \Delta >0$, suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$có hai nghiệm phân biệt .
Với $latex m=-3$ thì $latex \Delta =0$, suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}+\left( m-3 \right)x-3m=0$có hai nghiệm kép.
Bài toán 4. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-2mx+m-2=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số
- Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $latex m$
- Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $latex m$ để $latex M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải
a.Ta có $latex \Delta ={{m}^{2}}-\left( m-2 \right)$ $latex ={{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}$ $latex ={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4}\ge \dfrac{7}{4}>0\forall m$
Suy ra phương trình $latex {{x}^{2}}-2mx+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $latex m$(đpcm).
b. Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{align}& S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\& P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2 \\\end{align} \right.\\$
$M=\dfrac{-48}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6{{x}_{1}}{{x}_{2}}}$ $latex =\dfrac{-48}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{-48}{4{{m}^{2}}-8\left( m-2 \right)}$ $latex =\dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\\$
Ta có: ${{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12\ge 12\forall m\\$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\le \dfrac{1}{12}\forall m\\$
$\Leftrightarrow \dfrac{-48}{{{\left( 2m-2 \right)}^{2}}+12}\ge -4\forall m\\$
Suy ra $latex Max\left( M \right)=-4$. Dấu $latex ”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $latex \left( 2m-2 \right)=0\Leftrightarrow m=1$
Bài toán 5. Cho phương trình $latex {{x}^{2}}-mx-1=0$ với $latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số
- Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
- Gọi $latex {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị $latex M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$
Hướng dẫn giải
a. Xét phương trình $latex {{x}^{2}}-mx-1=0$ ($latex m$ là tham số và $latex x$ là ẩn số) ta có: $latex P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1<0\forall m$
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)
b. $M=\dfrac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\dfrac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}\\$
$M={{x}_{1}}+1-\dfrac{1}{{{x}_{1}}}-{{x}_{2}}-1+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}\\$
$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+\dfrac{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\\$
$M=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\\$
Theo định lý Viet ta có: $latex \left\{ \begin{align} & S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & P={{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.$
Ta có: $latex {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}$ $latex ={{m}^{2}}+4$
$latex {{M}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}{{\left( 1+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+4 \right)\times 0=0$
Vậy $latex M=0$