Sử dụng máy tính Casio fx-880BTG cho bài toán dãy số quy nạp TS 10 PTNK
- 30/05/2024
- 184 lượt xem
![]() |
Câu a). |
Ta có:
$a_{n+2}+a_n=$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n+2}$ $+\left(2-\sqrt3\right)^{n+2} +$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n}$ $+\left(2-\sqrt3\right)^{n}$
$\qquad \qquad \ =$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n+1}(2+\sqrt3+2-\sqrt3)$ $ +\left(2-\sqrt3\right)^{n+1}(2-\sqrt3+2+\sqrt3)$
$\qquad \qquad \ =4\left[\left(2+\sqrt3\right)^{n+1}+\left(2-\sqrt3\right)^{n+1}\right]$
$\qquad \qquad \ =4a_{n+1}$ (Suy ra đpcm)
Câu b). |
Vì $a_0=2$ không thoả yêu cầu của câu b và câu c nên để thuận tiện, ta xét $n$ nguyên dương.
Xét dãy số quy nạp $a_1=4, a_2=14, a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n \ (n= 1, 2, 3, \dots )$.
Mở một bảng tính trên máy tính Casio fx-880BTG, nhập $4$ vào $A1$, nhập $14$ vào $A2$ và điền công thức $A3=4A2-A1$ phạm vi $A3:A40$ và sau cùng nhập $4$ vào $C1$.
Ta tìm dư của phép chia $a_{n+2}$ cho $C1$ bằng cách điền công thức như trong hình, phạm vi $B1:B40$ . Duyệt bảng tính ta thấy dư lần lượt là $0,2,0,2,0,2,0,2\dots $
Viết vào bài làm |
Ta có nhận xét $a_1=4$ chia hết cho 4 nên theo biểu thức quy nạp $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ ta thấy $a_3, a_5, a_7, a_9,\dots $ chia hết cho 4. Vì $a_2, a_4, a_6, a_8,\dots $ chia $4$ có dư là $2$ nên với $n=2,4,6,8,\dots $ thì $a_{n+2}=4a_{n+1}-(4a’_{n}+2)$ không chia hết cho $4$. |
Câu c). Câu này khá là khó so với vớp 9, “khán giả cần cân nhắc trước khi xem”. |
Trong bảng tính vừa thực hiện ta thay số $4$ ở $C1$ bằng số 14, bảng tính được cập nhật. Ta thấy dư của phép chia $a_n \ (n \geqslant 2)$ cho $14$ lần lượt theo chu kỳ 8 là $0,10,12,10,0,4,2,4$.
Viết vào bài làm |
Ta thấy $n=2,3,4,5,6,7,8, 9$ chia cho $14$ lần lượt có dư là $0,10,12,10,0,4,2,4$.
Ta xét $n \geqslant 10$. |
Vậy , $a_n$ chia hết cho $14$ khi và chỉ khi $n\equiv 2 \ (\text{mod}\ 8) $ hay $n\equiv 6 \ (\text{mod}\ 8)$. Hay nói cách khác:
$a_n$ chia hết cho $14$ khi và chỉ khi $n \equiv 2 \ (\text{mod}\ 4)$.
|