Sử dụng máy tính Casio fx-880BTG cho bài toán dãy số quy nạp TS 10 PTNK

nkcau3

 

Câu a).

 

Ta có:

$a_{n+2}+a_n=$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n+2}$ $+\left(2-\sqrt3\right)^{n+2} +$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n}$ $+\left(2-\sqrt3\right)^{n}$

$\qquad \qquad \ =$ $\left(2+\sqrt3\right)^{n+1}(2+\sqrt3+2-\sqrt3)$ $ +\left(2-\sqrt3\right)^{n+1}(2-\sqrt3+2+\sqrt3)$

chú ý $\qquad \dfrac{1}{2\pm \sqrt3}=2\mp \sqrt3$

$\qquad \qquad \ =4\left[\left(2+\sqrt3\right)^{n+1}+\left(2-\sqrt3\right)^{n+1}\right]$

$\qquad \qquad \ =4a_{n+1}$ (Suy ra đpcm)

 

Câu b).

 

Vì $a_0=2$ không thoả yêu cầu của câu b và câu c nên để thuận tiện, ta xét $n$ nguyên dương.

 
Xét dãy số quy nạp $a_1=4, a_2=14, a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n \ (n= 1, 2, 3, \dots )$.
 
Mở một bảng tính trên máy tính Casio fx-880BTG, nhập $4$ vào $A1$, nhập $14$ vào $A2$ và điền công thức $A3=4A2-A1$ phạm vi $A3:A40$ và sau cùng nhập $4$ vào $C1$.
 
Ta tìm dư của phép chia $a_{n+2}$ cho $C1$ bằng cách điền công thức như trong hình, phạm vi $B1:B40$ nkbt1. Duyệt bảng tính ta thấy dư lần lượt là $0,2,0,2,0,2,0,2\dots $

 

Viết vào bài làm
Ta có nhận xét $a_1=4$ chia hết cho 4 nên theo biểu thức quy nạp $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ ta thấy $a_3, a_5, a_7, a_9,\dots $ chia hết cho 4.
 

Vì $a_2, a_4, a_6, a_8,\dots $ chia $4$ có dư là $2$ nên với $n=2,4,6,8,\dots $ thì $a_{n+2}=4a_{n+1}-(4a’_{n}+2)$ không chia hết cho $4$.
 
Tóm lại, $a_n$ chia hết cho $4$ khi và chỉ khi $n=1,3,5,7,9,\dots $, nghĩa là $n\equiv 1\ (\text{mod}\ 2) $

 

Câu c). Câu này khá là khó so với vớp 9, “khán giả cần cân nhắc trước khi xem”.

 

Trong bảng tính vừa thực hiện ta thay số $4$ ở $C1$ bằng số 14, bảng tính được cập nhật. Ta thấy dư của phép chia $a_n \ (n \geqslant 2)$ cho $14$ lần lượt theo chu kỳ 8 là $0,10,12,10,0,4,2,4$.

nkbt3 2

 

Viết vào bài làm
Ta thấy $n=2,3,4,5,6,7,8, 9$ chia cho $14$ lần lượt có dư là $0,10,12,10,0,4,2,4$.

Ta xét $n \geqslant 10$.

Nếu $n \equiv 2\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+4)-(14q_n+2)=56p_n-14q_n+14$ chia cho $14$ có dư $0$.
 
$n \equiv 3\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+2)-(14q_n+4)=56p_n-14q_n+4$ chia cho $14$ có dư $4$.
 
$n \equiv 4\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+4)-(14q_n+0)=56p_n-14q_n+16$ chia cho $14$ có dư $2$.
 
$n \equiv 5\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+0)-(14q_n+10)=56p_n-14q_n-10$ chia cho $14$ có dư $4$.
 
Nếu $n \equiv 6\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+10)-(14q_n+12)=56p_n-14q_n+28$ chia cho $14$ có dư $0$.
 
$n \equiv 7\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+12)-(14q_n+10)=56p_n-14q_n+38$ chia cho $14$ có dư $10$.
 
$n \equiv 8\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+10)-(14q_n+0)=56p_n-14q_n+40$ chia cho $14$ có dư $12$.
 
$n \equiv 9\ (\text{mod} 8)$ thì $a_n=4a_{n-1}-a_{n-2}=4(14p_n+0)-(14q_n+4)=56p_n-14q_n-4$ chia cho $14$ có dư $10$.

Vậy , $a_n$ chia hết cho $14$ khi và chỉ khi $n\equiv 2 \ (\text{mod}\ 8) $ hay $n\equiv 6 \ (\text{mod}\ 8)$. Hay nói cách khác:

$a_n$ chia hết cho $14$ khi và chỉ khi $n \equiv 2 \ (\text{mod}\ 4)$.

 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

BỘ ĐỀ THI GIỮA HKII LỚP 9 NĂM HỌC 2022-2023

BITEXEDU gửi quý thầy, cô và các bạn học sinh lớp 9 bộ đề thi …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết