BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Hệ thống các bài toán BĐT trong các bài thi tuyển sinh 10 của SGD và ĐT Hà Nội trong những năm gần đây (bài 2)
- 05/01/2022
- 127 lượt xem
|
Trước hết ta xây dựng công cụ để sử dụng trong nhiều bài toán
| Công cụ 1: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$. |
Thật vậy ta có $a^2+b^2\geqslant 2ab,\ b^2+c^2\geqslant 2bc, \ c^2+a^2\geqslant 2ca.$
Cộng ba bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
| Công cụ 2: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$. |
Thật vậy $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$, áp dụng công cụ 1 ta được điều phải chứng minh.
| Công cụ 3: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$(a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$. |
Chứng minh như trên.
| Công cụ 4: Với mọi $a, b, c; x, y , z$ ta luôn có: $$(ax+by+cz)^2\leqslant (a^2+b^2 + c^2)(x^2+y^2+z^2)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$. |
Thậy vậy VP$=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)+(a^2y^2+b^2x^2)+(a^2z^2+c^2x^2)+(c^2y^2+b^2z^2)$
$\geqslant (a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)+(2abxy)+(2acxz)+(2bcyz)=VT$
Bài 5: Ta có:
$Q^2=\left(1.\sqrt{2a+bc}+1.\sqrt{2b+ac}+1.\sqrt{2c+ab}\right)^2\leqslant 3\Big[2(a+b+c)+(bc+ca+ab)\Big]$ (công cụ 4).
Ngoài ra $bc+ca+ab\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ (công cụ 1)
nên $$Q^2\leqslant 3\Big[2(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\Big]=16\quad \Leftrightarrow\ Q\leqslant 4$$
$Q =4$ nếu $a=b=c=\dfrac23$ nên 4 là GTLN của $Q$.
Bài 4: Ta có:
Ta có $P=a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ (công cụ 1).
Vậy $P\geqslant 9$. Xảy ra dấu bằng nếu $a=b=c=\sqrt3$ nên GTNN của P là 9.
Từ giả thiết ta suy ra $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Leftrightarrow a+b\leqslant ab+1$.
Tương tự $b+c\leqslant bc+1, c+a \leqslant ca+1$.
Do đó $a+b+c\leqslant\dfrac{ab+bc+ca+3}{2}=6$.
Ta có $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leqslant 18$$
Ta nhận xét rằng nếu $a=b=1, c=4$ thì xảy ra dấu bằng. Do đó GTLN của $P$ là 18.
| Ta không bị bắt buộc phải tìm tất cả trường hợp xảy ra dấu bằng, chỉ cần chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu bằng. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
