Hệ thống các bài toán BĐT trong các bài thi tuyển sinh 10 của SGD và ĐT Hà Nội trong những năm gần đây (bài 2)

 

  1. Bài 4: Năm 2017: Với các số thực $a, b$ và $c$ thoả mãn $a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \geqslant 1$ và $ab+bc+ca=9$, tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$
  2.  

  3. Bài 5: Năm 2014: Với các số thực $a, b, c$ thoả mãn $a+b+c=2$, tìm GTLN của biểu thức $Q=\sqrt{2a+bc}+\sqrt{2b+ac}+\sqrt{2c+ab}.$
  4.  

 
 

Trước hết ta xây dựng công cụ để sử dụng trong nhiều bài toán
 
 

 

Công cụ 1: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

Thật vậy ta có $a^2+b^2\geqslant 2ab,\ b^2+c^2\geqslant 2bc, \ c^2+a^2\geqslant 2ca.$

Cộng ba bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh.

 

 

Công cụ 2: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$(a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

Thật vậy $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$, áp dụng công cụ 1 ta được điều phải chứng minh.

 

 

Công cụ 3: Với mọi $a, b, c$ ta luôn có: $$(a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $a=b=c$.

 

Chứng minh như trên.

 

 

Công cụ 4: Với mọi $a, b, c; x, y , z$ ta luôn có: $$(ax+by+cz)^2\leqslant (a^2+b^2 + c^2)(x^2+y^2+z^2)$$Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$.

 

Thậy vậy VP$=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)+(a^2y^2+b^2x^2)+(a^2z^2+c^2x^2)+(c^2y^2+b^2z^2)$

$\geqslant (a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2)+(2abxy)+(2acxz)+(2bcyz)=VT$

 

Bài 5: Ta có:
 
$Q^2=\left(1.\sqrt{2a+bc}+1.\sqrt{2b+ac}+1.\sqrt{2c+ab}\right)^2\leqslant 3\Big[2(a+b+c)+(bc+ca+ab)\Big]$ (công cụ 4).

Ngoài ra $bc+ca+ab\leqslant \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ (công cụ 1)

nên $$Q^2\leqslant 3\Big[2(a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}\Big]=16\quad \Leftrightarrow\ Q\leqslant 4$$

$Q =4$ nếu $a=b=c=\dfrac23$ nên 4 là GTLN của $Q$.

 
 
 

Bài 4: Ta có:
 

Ta có $P=a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ (công cụ 1).
 
Vậy $P\geqslant 9$. Xảy ra dấu bằng nếu $a=b=c=\sqrt3$ nên GTNN của P là 9.
 
Từ giả thiết ta suy ra $(a-1)(b-1)\geqslant 0\Leftrightarrow a+b\leqslant ab+1$.

Tương tự $b+c\leqslant bc+1, c+a \leqslant ca+1$.
 
Do đó $a+b+c\leqslant\dfrac{ab+bc+ca+3}{2}=6$.
 

Ta có $$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\leqslant 18$$

Ta nhận xét rằng nếu $a=b=1, c=4$ thì xảy ra dấu bằng. Do đó GTLN của $P$ là 18.

 

 

Ta không bị bắt buộc phải tìm tất cả trường hợp xảy ra dấu bằng, chỉ cần chỉ ra một trường hợp xảy ra dấu bằng.
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

hinh1 1

Bài toán về phép giải tam giác trong bài thi HSG MTCT cấp THCS

Tháng 1/2021 kỳ thi HSG MTCT do SGD và ĐT TP HCM tổ chức tiếp …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết