Dùng bảng tính dự đoán phép chứng minh tính chia hết

Kỳ thi HSG quốc gia môn Toán học sinh không được sử dụng máy tính. Vì vậy các kỳ thi HSG Toán các cấp cũng vậy. Tuy nhiên đối với các thầy cô phụ trách dội tuyển vẫn có thể sử dụng nó để chuẩn bị tài liệu giảng dạy. Riêng đối với các em học sinh, mô phỏng theo máy tính các em vẫn có thể tam khảo các bài toán thuộc dạng này.

 

 

 

 

Bài toán: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $7$.

 

 

 

Ta mở một bảng tính mới trên máy tính Casio fx-880BTG, nhập số 0 vào A1 và dùng Tools – Fill Formula để nhập các số từ 1 đến 44 vào cột A.
bt1ahsg1

 

Đưa con trỏ vào B1, dùng Tools – Fill Formula nhập công thức $\large (2^{A1}-1)\div 7$,
phạm vi của bảng B1:B45.
bt1ahsg2

 

Duyệt cột B để tìm số nguyên, mỗi số nguyên của cột B sẽ ứng với một số tự nhiên ở cột A. Ta dự đoán $2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3^k\ , k \in \mathbb{N}$.
bt1ahsg3

 

 

 

Chứng minh rằng nếu $n\in \mathbb{N}$ thì $2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$.

 

 

Chứng minh:

Nếu $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=8^k-1=(8-1)(8^{k-1}+8^{k-2}+\dots + 8+1)$. Vậy $2^n-1$ chia hết cho $7$.

 

Nếu $n=3k+1\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=2^{3k}.2-1=2.8^k-2+1=2(8^k-1)+1$. Vì $2(8^k-1)$ chia hết cho $7$ nên $2(8^k-1)+1$ không chia hết cho $7$.

 

Nếu $n=3k+2\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=2^{3k}.4-1=4.8^k-4+3=4(8^k-1)+3$. Vì $4(8^k-1)$ chia hết cho $7$ nên $4(8^k-1)+3$ không chia hết cho $7$.

Vậy

 

$2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$.

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

BỘ ĐỀ THI GIỮA HKII LỚP 9 NĂM HỌC 2022-2023

BITEXEDU gửi quý thầy, cô và các bạn học sinh lớp 9 bộ đề thi …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết