BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Dùng bảng tính dự đoán phép chứng minh tính chia hết
- 16/10/2022
- 111 lượt xem
Kỳ thi HSG quốc gia môn Toán học sinh không được sử dụng máy tính. Vì vậy các kỳ thi HSG Toán các cấp cũng vậy. Tuy nhiên đối với các thầy cô phụ trách dội tuyển vẫn có thể sử dụng nó để chuẩn bị tài liệu giảng dạy. Riêng đối với các em học sinh, mô phỏng theo máy tính các em vẫn có thể tam khảo các bài toán thuộc dạng này.
|
Bài toán: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $7$.
|
Ta mở một bảng tính mới trên máy tính Casio fx-880BTG, nhập số 0 vào A1 và dùng Tools – Fill Formula để nhập các số từ 1 đến 44 vào cột A.
Đưa con trỏ vào B1, dùng Tools – Fill Formula nhập công thức $\large (2^{A1}-1)\div 7$,
phạm vi của bảng B1:B45.
Duyệt cột B để tìm số nguyên, mỗi số nguyên của cột B sẽ ứng với một số tự nhiên ở cột A. Ta dự đoán $2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3^k\ , k \in \mathbb{N}$.
|
Chứng minh rằng nếu $n\in \mathbb{N}$ thì $2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$.
|
Chứng minh:
Nếu $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=8^k-1=(8-1)(8^{k-1}+8^{k-2}+\dots + 8+1)$. Vậy $2^n-1$ chia hết cho $7$.
Nếu $n=3k+1\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=2^{3k}.2-1=2.8^k-2+1=2(8^k-1)+1$. Vì $2(8^k-1)$ chia hết cho $7$ nên $2(8^k-1)+1$ không chia hết cho $7$.
Nếu $n=3k+2\ , k \in \mathbb{N}$ thì $2^n-1=2^{3k}.4-1=4.8^k-4+3=4(8^k-1)+3$. Vì $4(8^k-1)$ chia hết cho $7$ nên $4(8^k-1)+3$ không chia hết cho $7$.
Vậy
| $2^n-1$ chia hết cho $7$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 3, nghĩa là $n=3k\ , k \in \mathbb{N}$. |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
