Sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác

1. Cho tam giác $ABC$. Dựng đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác và tiếp xúc với ba cạnh $BC, CA, AB$ lần lượt tại $D, E, F$. Gọi $M$ là giao điểm $AI$ và $DF$. Chứng minh $CM\perp AI$.

hnc1 1

 

 

GIẢI: Trong tam giác $AIC$ ta có: $$\widehat{MIC}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\dfrac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}=90^\circ-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\widehat{FDB}=\widehat{MDC}$$
Vậy tứ giác $MDIC$ nội tiếp. Vì $\widehat{IDC=90^\circ}$ nên $\widehat{IMC}=90^\circ$ (đpcm)

hnc1a

 

2. Gọi $N$ là giao điểm của $AI$ và $DE$. Gọi $K$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $KM=KN.$

hnc2a

 

 

GIẢI:

 

Tương tự như trên ta có: $BN\perp AI$. Suy ra $BN/\!/MC$.

Vậy $MBNC$ là hình thang. Vì $K$ là trung điểm của đường chéo $BC$ nên nếu ta gọi $J$ là trung điểm của đường chéo $MN$ thì $JK /\!/ MC \Rightarrow KJ\perp MN$.

Tam giác $KMN$ có $KJ$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác này cân tại $K$ (suy ra đpcm).

hnc2b

 

3. Vẽ đường tròn tâm $K$ bán kính $KM$. Gọi $S$ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $M$ và tại $N$ của đường tròn $(K)$. Chứng minh $AS\perp BC.$

hnc3a 1

 

 

GIẢI:

 

Gọi $Q$ là giao điểm của $AS$ và $BC$. Ta chứng minh tứ giác $MSQK$ nội tiếp. Khi đó vì $\widehat{SMK}=90^\circ$ nên suy ra $\widehat{SQK}=90^\circ$.

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX-880BTG GIẢI BÀI TOÁN DÃY SỐ TRUY HỒI TRONG ĐỀ THI HSG MTCT

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1=1,u_2=2,u_3=3$ và $u_n=2u_{n-1}+3u_{n-2}-u_{n-3}+n^2 (n\geq 4)$. Tính (ghi kết …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết