Sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác

GIẢI: Trong tam giác $AIC$ ta có: $$\widehat{MIC}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\dfrac{\widehat{BAC}+\widehat{BCA}}{2}=90^\circ-\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\widehat{FDB}=\widehat{MDC}$$
Vậy tứ giác $MDIC$ nội tiếp. Vì $\widehat{IDC=90^\circ}$ nên $\widehat{IMC}=90^\circ$ (đpcm)

GIẢI:

Tương tự như trên ta có: $BN\perp AI$. Suy ra $BN/\!/MC$.

Vậy $MBNC$ là hình thang. Vì $K$ là trung điểm của đường chéo $BC$ nên nếu ta gọi $J$ là trung điểm của đường chéo $MN$ thì $JK /\!/ MC \Rightarrow KJ\perp MN$.

Tam giác $KMN$ có $KJ$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác này cân tại $K$ (suy ra đpcm).

GIẢI:

Gọi $Q$ là giao điểm của $AS$ và $BC$. Ta chứng minh tứ giác $MSQK$ nội tiếp. Khi đó vì $\widehat{SMK}=90^\circ$ nên suy ra $\widehat{SQK}=90^\circ$.