Cách phân tích tìm lời giải (bài 2)

Bài toán (Đề Toán chuyên Hà Nội 2022)
Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$, các cạnh $BC, CA, AB$ tiếp xúc với $(I)$ lần lượt tại $D, E, F$. Hai đường thẳng $AI$ và $FD$ cắt nhau tại $M$.

a) Chứng minh $CM \perp AM$.

b) Các đường thẳng $ED$ và $AI$ cắt nhau tại $N$. Gọi $K$ là trung điểm $BC$. Chứng minh tam giác $KMN$ là tam giác cân.

 

hanoi22a

Phân tích tìm lời giải câu a
  1. $\color{blue}\bullet$ Ta thấy $\widehat{IDC}=90^\circ$ nên để chứng minh $\widehat{IMC}=90^\circ$ ta chứng minh tứ giác $IDMC$ nội tiếp. Muốn vậy ta chứng minh $\widehat{MIC}=\widehat{MDC}$.
  2. $\color{blue}\bullet$ Ta biết rằng $\widehat{AIC}=90^\circ+\dfrac{\widehat{B}}{2} ⇒ \widehat{MIC}=90^\circ-\dfrac{\widehat{B}}{2}.$
  3. $\color{blue}\bullet$ Ta có $\widehat{MDC}=\widehat{FDB}$. Ta thấy $\widehat{FDB}=90^\circ-\dfrac{\widehat{B}}{2}$ vì $IB \perp FD$ (vẽ hình ra sẽ thấy). Đến đây lời giải đã được tìm ra.
  4. Bài học rút ra từ sự phân tích này là: vì ta biết cách tính góc $\widehat{AIC}$ nên ta “đầu tư cho góc $\color{blue}{\widehat{MIC}}$” .

 

Bài giải

Ta có $IB$ là đường phân giác góc $\widehat{ABC}$ và $IB\perp FD$ nên $\widehat{FDB}=90^\circ -\widehat{IBD}= 90^\circ -\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$.

Vì $\widehat{MDC}=\widehat{FDB}$ (đối đỉnh) nên $\widehat{MDC}=90^\circ -\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\quad (1)$.

Ta có: $\widehat{MIC}=180^\circ-\widehat{AIC}=180^\circ -\left(90^\circ +\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\right)= 90^\circ -\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\quad (2)$

So sánh (1) và (2) ta suy ra $\widehat{MIC}=\widehat{MDC} ⇒$ tứ giác $IDMC$ nội tiếp. Khi đó $\widehat{CMI}=\widehat{CDI}=90^\circ$ (đpcm)

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

SỬ DỤNG MÁY TÍNH FX-880BTG GIẢI BÀI TOÁN DÃY SỐ TRUY HỒI TRONG ĐỀ THI HSG MTCT

Đề bài: Cho dãy số $(u_n)$ biết $u_1=1,u_2=2,u_3=3$ và $u_n=2u_{n-1}+3u_{n-2}-u_{n-3}+n^2 (n\geq 4)$. Tính (ghi kết …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết