BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Một lưu ý khi chứng minh trung điểm của đoạn thẳng
- 15/02/2023
- 228 lượt xem
| Nếu tam giác $\triangle ABC \backsim \triangle A’B’C’$ ($\widehat{A}=\widehat{A’}, \widehat{B}=\widehat{B’}, \widehat{C}=\widehat{C’}$) và $\triangle ACH \backsim \triangle A’C’H’$(các góc bằng nhau như hình vẽ) thì $\triangle ABH \backsim \triangle A’B’H’$.
Khi đó nếu $H$ là trung điểm $BC$ thì $H’$ là trung điểm $B’C’$. |
Chứng minh
| Xét hai tam giác $ABH$ và $A’B’H’$ ta có:
$\color{blue}{\bullet}$ $\widehat{ABH}=\widehat{A’B’H’}$ $\color{blue}{\bullet}$ $\widehat{BAH}=\widehat{BAC}-\widehat{HAC}=\widehat{B’A’C’}-\widehat{H’A’C’}=\widehat{B’A’H’}$ (sự bằng nhau của các góc tương ứng là do các tam giác liên quan đồng dạng). Vậy $\triangle ABH \backsim \triangle A’B’H’$. Suy ra $\dfrac{HB}{H’B’}=\dfrac{HA}{H’A’}\quad (1)$ Ngoài ra $\triangle ACH \backsim \triangle A’C’H’\ \text{(gt)}\ \Rightarrow \dfrac{HC}{H’C’}=\dfrac{HA}{H’A’}\quad (2)$ $HB=HC \quad (3)$ Từ $(1)$ $(2)$ và $(3)$ suy ra $H’B’=H’C’$ (đpcm). |
Áp dụng
| Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB < AC$ ) nội tiếp đường tròn $(O)$ có 2 đường cao $BD$ và $CE$. Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$. $AM$ cắt $ED$ tại $K$. Chứng minh $K$ là trung điểm của $ED$. |
Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Học sinh sẽ chứng minh:
1. $\triangle AED \backsim \triangle ACB$ (dễ)
2. $\triangle AEK \backsim \triangle ACH$ (có hướng dẫn của người ra đề bởi các câu hỏi trung gian).
Tiến hành như trong nhận xét, vì $H$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $ED$.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
