Một kỹ thuật chứng minh tam giác đồng dạng và áp dụng

Giả sử tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A’B’C’$ và $\widehat{A}=\widehat{A’} ; \dfrac{AC}{AB}=\dfrac{A’C’}{A’B’}$

$ ⇒ \dfrac{k.AC}{AB}=\dfrac{k.A’C’}{A’B’} ⇒ \dfrac{AC_1}{AB}=\dfrac{A’C’_1}{A’B’}$.

Hai tam giác $ABC_1$ và $A’B’C’_1$ có: $\widehat{A}=\widehat{A’} ; \dfrac{AC_1}{AB}=\dfrac{A’C’_1}{A’B’}$ nên là hai tam giác đồng dạng.

Hạ $BE$ và $CF$ vuông góc với đường thẳng $NPP$. Hai tam giác $BPE$ và $CNF$ có:

$$\left\lbrace\begin{array}{l}\widehat{BEP}=\widehat{CFN}=90^\circ\\
\widehat{BPE}=\widehat{CNF}\quad \text{(vì lần lượt đối đỉnh với hai góc bằng nhau}\ \widehat{APN}\ \text{và}\ \widehat{ANP}) \end{array} \right. $$
Suy ra hai tam giác này đồng dạng. Do đó: $\dfrac{PE}{PB}=\dfrac{NF}{NC}\quad (1)$

Áp dụng định lý Thales vào hình thang ta có: $$\dfrac{KE}{KF}=\dfrac{MB}{MC} =\dfrac{PB}{NC} \Leftrightarrow \dfrac{KE}{PB}=\dfrac{KF}{NC}\quad (2)$$
Lấy (2) trừ (1) ta có: $\dfrac{PK}{PB}=\dfrac{NK}{NC}$, ngoài ra $\widehat{BPK}=\widehat{CNK} $ vì lần lượt bù với hai góc bằng nhau $\widehat{BPE}$ và $\widehat{CNF}$ nên $\triangle BPK \backsim \triangle CNK ⇒ \widehat{PKB}=\widehat{NKC} ⇒ \widehat{BKM}=\widehat{CKM}$ (đpcm).

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.