Về bài toán tứ giác nội tiếp trong đề thi Toán chuyên TPHCM năm 2022

 

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ nhọn $AB<AC$ có các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $I$. Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $IH$ tại $K$ cắt đường thẳng BC tại $M$.
  1. 1. Chứng minh tứ giác $IFKC$ nội tiếp và $\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$.
  2. 2. Chứng minh $M$ là trung điểm $BC$.

 

Theo cấu trúc của bài toán này, chúng tôi dự đoán tác giả muốn hướng dẫn học sinh giải câu 2 theo định hướng áp dụng câu 1 . Tuy nhiên rất nhiều lời giải lại chứng minh độc lập. Trong bài viết này chúng tôi đóng vai trò của thí sinh, giải bài toán theo lộ trình đã được hướng dẫn.

 

chuyenhinh1a

Câu 1a: Ta có $\widehat{FCI} \equiv \widehat{FCB}= \widehat{FAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\widehat{FAH}=\widehat{FKH}$ (cùng chắn cung $FH$ của đường tròn đường kính $AH$).

$\widehat{FKH}\equiv \widehat{FKI}$.

Vậy $\widehat{FCI}= \widehat{FKI}$ do đó tứ giác $IFKC$ nội tiếp.

Câu 1b:

$\widehat{IEB}\equiv \widehat{FEH} =\widehat{FAH}$ (cùng chắn cung $FH$ của đường tròn đường kính $AH$) $\equiv \widehat{BAD}$

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}$ (cùng chắn cung $BD$ của đường tròn đường kính $AB$).

Vậy $\widehat{IEB}=\widehat{DEB}$ do đó $EB$ là đường phân giác trong góc $E$ của tam giác $IED$. Vì $EC\perp EB$ nên $EC$ là đường phân giác ngoài.

Theo tính chất của hai đường phân giác ta có: $$\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$$

Câu 2:

  1. $\color{blue}\bullet$ $IDM$ và $IHK$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $HM$ nên $ID.IM=IH.IK$
  2. $\color{blue}\bullet$ $IHK$ và $IFE$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $AH$ (đi qua 5 điểm $A,H, K, F, E$) nên $$IH.IK=IF.IE$$
  3. $\color{blue}\bullet$ $IFE$ và $IBC$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $BC$ nên $IF.IE=IB.IC$.

Vậy $$ID.IM=IB.IC \qquad (1)$$

Ta có nhận xét vì tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$ nên 5 điểm $I, B, D, M, C$ được sắp theo đúng thứ tự đó.
Theo chứng minh trên $BI.CD=CI.BD \Leftrightarrow IB(IC-ID)=IC(ID-IB)\Leftrightarrow 2.IB.IC=ID(IB+IC) \qquad (2)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $IM=\dfrac{IB+IC}{2} \Leftrightarrow 2IM=(IM-MB)+(IM+MC)\Leftrightarrow MB=MC$.

 

 

 

Đón đọc: Chứng minh trực tiếp câu 2 bằng định tính, nghĩa là không dựa vào câu 1.

 

 

docthemphan2

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Hệ phương trình