Về bài toán tứ giác nội tiếp trong đề thi Toán chuyên TPHCM năm 2022

Câu 1a: Ta có $\widehat{FCI} \equiv \widehat{FCB}= \widehat{FAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$)

$\widehat{FAH}=\widehat{FKH}$ (cùng chắn cung $FH$ của đường tròn đường kính $AH$).

$\widehat{FKH}\equiv \widehat{FKI}$.

Vậy $\widehat{FCI}= \widehat{FKI}$ do đó tứ giác $IFKC$ nội tiếp.

Câu 1b:

$\widehat{IEB}\equiv \widehat{FEH} =\widehat{FAH}$ (cùng chắn cung $FH$ của đường tròn đường kính $AH$) $\equiv \widehat{BAD}$

$\widehat{BAD}=\widehat{BED}$ (cùng chắn cung $BD$ của đường tròn đường kính $AB$).

Vậy $\widehat{IEB}=\widehat{DEB}$ do đó $EB$ là đường phân giác trong góc $E$ của tam giác $IED$. Vì $EC\perp EB$ nên $EC$ là đường phân giác ngoài.

Theo tính chất của hai đường phân giác ta có: $$\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$$

Câu 2:

1. $\color{blue}\bullet$ $IDM$ và $IHK$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $HM$ nên $ID.IM=IH.IK$
2. $\color{blue}\bullet$ $IHK$ và $IFE$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $AH$ (đi qua 5 điểm $A,H, K, F, E$) nên $$IH.IK=IF.IE$$
3. $\color{blue}\bullet$ $IFE$ và $IBC$ là hai cát tuyến của đường tròn đường kính $BC$ nên $IF.IE=IB.IC$.

Vậy $$ID.IM=IB.IC \qquad (1)$$

Ta có nhận xét vì tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$ nên 5 điểm $I, B, D, M, C$ được sắp theo đúng thứ tự đó.
Theo chứng minh trên $BI.CD=CI.BD \Leftrightarrow IB(IC-ID)=IC(ID-IB)\Leftrightarrow 2.IB.IC=ID(IB+IC) \qquad (2)$

Từ (1) và (2) ta suy ra $IM=\dfrac{IB+IC}{2} \Leftrightarrow 2IM=(IM-MB)+(IM+MC)\Leftrightarrow MB=MC$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.