Hệ thống các bài toán BĐT trong các bài thi tuyển sinh 10 của SGD và ĐT Hà Nội trong những năm gần đây

 

  1. Bài 1: Năm 2021: Với các số thực $a$ và $b$ thoả mãn $a^2+b^2=2$, tìm GTNN của biểu thức $P=3(a+b)+ab$
  2.  

  3. Bài 2: Năm 2019: Với các số thực $a$ và $b$ thoả mãn $a^2+b^2+ab=3$, tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=a^4+b^4-ab$
  4.  

  5. Bài 3: Năm 2016: Với các số thực $x, y$ thoả mãn $x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y$, tìm GTLN và GTNN của biểu thức $P=x+y$

 

 

Bài1, bài 2 và bài 3 có chung cách giải như sau:

 

  • $\color{blue}\bullet$ Đặt $u=a+b, v=ab$. Điều kiện $u^2\geqslant 4v$.
  • $\color{blue}\bullet$ Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tính theo cùng một biến $u$ hoặc $v$.
  • $\color{blue}\bullet$ Tiến hành tìm GTLN và/hoặc GTNN của một hàm số theo một biến số.

 

Bài 1: Đặt $u=a+b, v=ab, u^2\geqslant 4v$.

 

Ta có: $a^2+b^2=2\Leftrightarrow u^2-2v=2 \Leftrightarrow v=\dfrac{u^2-2}{2}$. Khi đó $P=3u+\dfrac{u^2-2}{2}$.

Điều kiện trở thành $u^2\geqslant 2(u^2-2)\Leftrightarrow u^2\leqslant 4 \Leftrightarrow -2\leqslant u\leqslant 2$.

Ở đây chúng tôi sử dụng MTCT để dự đoán kết quả GTNN của biểu thức $P$ là $-5$.
hnbdt1a

Trong bài viết sau chúng tôi sẽ hướng dẫn chuyển kết quả dự đoán trên máy tính sang lời giải tự luận để có kết luận hoàn chỉnh.
 
 
Bài 2: Đặt $u=a+b, v=ab, u^2\geqslant 4v$.

 

Ta có: $a^2+b^2+ab=3\Leftrightarrow (u^2-2v)+v=3 \Leftrightarrow v=u^2-3$. Khi đó $P=(u^4-4u^2v+2v^2)-v=u^4-4u^2(u^2-3)+2(u^2-3)^2-(u^2-3)$.

Thu gọn ta được $P=-u^4-u^2+21$

Điều kiện trở thành $u^2\geqslant 4(u^2-2)\Leftrightarrow u^2\leqslant 4 \Leftrightarrow -2\leqslant u\leqslant 2$.

Ở đây chúng tôi sử dụng MTCT để dự đoán kết quả GTNN của biểu thức $P$ là $1$ và GTLN là $21$.
hnbdt2a

Trong bài viết sau chúng tôi sẽ hướng dẫn chuyển kết quả dự đoán trên máy tính sang lời giải tự luận để có kết luận hoàn chỉnh.
 
 
Bài 3: Đặt $u=x+y, v=xy, u^2\geqslant 4v$.

 

$x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y$

$\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\quad $ (Điều kiện $u= x+y \geqslant 0$.)

$\Leftrightarrow u^2=u+12+2\sqrt{v+6u+36}$

$\Leftrightarrow u^2-u-12=2\sqrt{v+6u+36}\quad $ (Điều kiện $u^2-u-12\geqslant 0 \Rightarrow u\geqslant 4$.)

$\Leftrightarrow v=\left(\dfrac{u^2-u-12}{2}\right)^2-6u-36$

Điều kiện trở thành $u^2\geqslant (u^2-u-12)^2-24u-144$

Thu gọn biểu thức bằng cách bấm CALC100 calc100

 

Suy ra $u^4-2u^3-24u^2\leqslant 0 \Leftrightarrow -4\leqslant u\leqslant 6$.

 

Kết hợp các điều kiện ta có ${\color{blue}4\leqslant u\leqslant 6}$

$u=6\Leftrightarrow v= 9 \Leftrightarrow x=y=3$

$u=4\Leftrightarrow v=-60 \Leftrightarrow x=10, y=-6$ hay $x=-6, y=10$.
 

Vậy GTLN của $x+y$ là 6 và GTNN của $x+y$ là 4.
 
 

 

Nhận xét: Chúng tôi muốn giải ba bài toán theo cùng một phương pháp sơ cấp để rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh có học lực khá,giỏi khi giải các bài toán có yêu cầu rất cao trong bài thi tuyển sinh 10.

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

khi nhu cau cua nguoi tieu dung ve mat hang nao do tang cao thi nguoi san xuat se lam theo phuong an nao duoi day

CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ TIÊU DÙNG THCS

Toán thực tế là một chuyên đề đang được quý Thầy, cô và các bạn học sinh khá quan tâm hiện nay. Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một vài ví dụ về tính toán tiêu dùng theo chương trình THCS.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết