Hệ thống các bài toán BĐT trong các bài thi tuyển sinh 10 của SGD và ĐT Hà Nội trong những năm gần đây
- 29/12/2021
- 161 lượt xem
|
Bài1, bài 2 và bài 3 có chung cách giải như sau:
|
Bài 1: Đặt $u=a+b, v=ab, u^2\geqslant 4v$.
Ta có: $a^2+b^2=2\Leftrightarrow u^2-2v=2 \Leftrightarrow v=\dfrac{u^2-2}{2}$. Khi đó $P=3u+\dfrac{u^2-2}{2}$.
Điều kiện trở thành $u^2\geqslant 2(u^2-2)\Leftrightarrow u^2\leqslant 4 \Leftrightarrow -2\leqslant u\leqslant 2$.
Ở đây chúng tôi sử dụng MTCT để dự đoán kết quả GTNN của biểu thức $P$ là $-5$.
Trong bài viết sau chúng tôi sẽ hướng dẫn chuyển kết quả dự đoán trên máy tính sang lời giải tự luận để có kết luận hoàn chỉnh.
Bài 2: Đặt $u=a+b, v=ab, u^2\geqslant 4v$.
Ta có: $a^2+b^2+ab=3\Leftrightarrow (u^2-2v)+v=3 \Leftrightarrow v=u^2-3$. Khi đó $P=(u^4-4u^2v+2v^2)-v=u^4-4u^2(u^2-3)+2(u^2-3)^2-(u^2-3)$.
Thu gọn ta được $P=-u^4-u^2+21$
Điều kiện trở thành $u^2\geqslant 4(u^2-2)\Leftrightarrow u^2\leqslant 4 \Leftrightarrow -2\leqslant u\leqslant 2$.
Ở đây chúng tôi sử dụng MTCT để dự đoán kết quả GTNN của biểu thức $P$ là $1$ và GTLN là $21$.
Trong bài viết sau chúng tôi sẽ hướng dẫn chuyển kết quả dự đoán trên máy tính sang lời giải tự luận để có kết luận hoàn chỉnh.
Bài 3: Đặt $u=x+y, v=xy, u^2\geqslant 4v$.
$x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y$
$\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}\quad $ (Điều kiện $u= x+y \geqslant 0$.)
$\Leftrightarrow u^2=u+12+2\sqrt{v+6u+36}$
$\Leftrightarrow u^2-u-12=2\sqrt{v+6u+36}\quad $ (Điều kiện $u^2-u-12\geqslant 0 \Rightarrow u\geqslant 4$.)
$\Leftrightarrow v=\left(\dfrac{u^2-u-12}{2}\right)^2-6u-36$
Điều kiện trở thành $u^2\geqslant (u^2-u-12)^2-24u-144$
Thu gọn biểu thức bằng cách bấm CALC100
Suy ra $u^4-2u^3-24u^2\leqslant 0 \Leftrightarrow -4\leqslant u\leqslant 6$.
Kết hợp các điều kiện ta có ${\color{blue}4\leqslant u\leqslant 6}$
$u=6\Leftrightarrow v= 9 \Leftrightarrow x=y=3$
$u=4\Leftrightarrow v=-60 \Leftrightarrow x=10, y=-6$ hay $x=-6, y=10$.
Vậy GTLN của $x+y$ là 6 và GTNN của $x+y$ là 4.
Nhận xét: Chúng tôi muốn giải ba bài toán theo cùng một phương pháp sơ cấp để rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh có học lực khá,giỏi khi giải các bài toán có yêu cầu rất cao trong bài thi tuyển sinh 10. |