Hàng điểm điều hòa và áp dụng

Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$ ta vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ (với $B$ và $C$ là hai tiếp điểm). Lấy một điểm $I$ tùy ý trên đoạn $BC$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn tại cặp điểm $D, E$ (trong đó $D$ nằm giữa $A$ và $E$). Chứng minh rằng $$\dfrac{EI}{EA}=\dfrac{DI}{DA}$$

Chứng minh $HI$ là đường phân giác trong góc $H$ của tam giác $EHD$,

Vì $HA\perp HI$ nên $HA$ là đường phân giác ngoài góc $H$ của tam giác $EHD$.

Theo tính chất của đường phân giác ta có: $\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{AE}{AD} \quad \text{vì cùng bằng} \dfrac{HE}{HD}$
Từ đó ta suy ra $\dfrac{EI}{EA}=\dfrac{DI}{DA}$

Từ một điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$, kẻ hai tiếp tuyến $AB,AC (B,C$ là tiếp điểm) và cát tuyến $ADE$ đến đường tròn (tia $AE$ nằm trong góc $\widehat{OAB}$ và điểm $D$ nằm giữa $A$ và $E$). Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ với $AE$. Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt C$D$ và $CE$ lần lượt tại $M$ và $N$. Chứng minh $I$ là trung điểm của $MN$.

Do vị trí của các điểm trên đoạn thẳng $AE$ được sắp xếp theo một thứ tự thuận tiện nên việc phân tích thành tổng và hiệu là hoàn toàn hợp lý.

Tính chất $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$ là một tính chất đặc trưng của chùm đường thẳng điều hòa. Ở đây ta chứng minh trực tiếp như một áp dụng của tứ giác nội tiếp thuộc chương trình lớp 9.