Giải một bài toán khó về lý thuyết số trong kỳ thi HSG MTCT THCS TP HCM 2021

Giải:

$a,b,c$ là ba số tự nhiên thuộc $[0;9]$, $a \ne 0$ và thoả đẳng thức $$100a+10b+c=a^2+2b^2+19c^2 \Leftrightarrow \fbox{$a^2-100a+2b^2-10b+19c^2-c=0$}\quad (1)$$

Xem phương trình (1) như phương trình bậc hai theo biến $a$, ta có:
$$\Delta’=50^2-(2b^2-10b+19c^2-c)$$
Ta chỉ xét khi $\Delta’$ là một số chính phương. Khi đó $$a=50-\sqrt{50^2-(2b^2-10b+19c^2-c)}$$
Vì $0 < a \leqslant 9$ nên $$41\leqslant \sqrt{50^2-(2b^2-10b+19c^2-c)}\leqslant 49$$

Ta xác định các chữ số $b$ và $c$ sao cho $\sqrt{50^2-(2b^2-10b+19c^2-c)}=m$ với $m$ là một số tự nhiên thuộc $[41;49]$. Muốn vậy ta xét phương trình bậc hai theo biến $b$:
$$\fbox{$-2b^2+10b-19c^2+c+50^2-m^2=0$}\quad (2)$$

$\delta’=25+2(-19c^2+c+50^2-m^2)=-38c^2+2c+25+2\times 50^2-2m^2$

Lần lượt cho $m$ chạy từ $41$ đến $49$ ta xác định $c$ sao cho $$-38c^2+2c+25+2\times 50^2-2m^2$$ là số chính phương.

Bấm MENU 8 nhập hàm số $f(x)=\sqrt{-38x^2+2x+25+2\times 50^2-2m^2}$ với $m$ lần lượt chạy từ $41$ tới $49$ và biến $x$ là các số nguyên thuộc $[0;9]$ ta thấy $m=41,42,43,44,45,46,47,49$ đều bị loại.

Khi $m=48$ ta có bảng giá trị . Khi đó $c=3$. Giải phương trình (2) ta tìm được $b=7$ và giải phương trình (1) ta tìm được $a=2$.

Tóm lại một một số duy nhất cần tìm là 273.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.