GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Phương trình chứa dấu căn thức

Phương trình $\sqrt{f\left( x \right)}=g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & g\left( x \right)\ge 0 \\  & f\left( x \right)={{g}^{2}}\left( x \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình $\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{g\left( x \right)}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & f\left( x \right)\ge 0\left( g\left( x \right)\ge 0 \right) \\  & f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ \end{align} \right.$

Phương trình $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=k$ với $a,b,c,d,k$ là những số cho trước, trong đó $a+b=c+d$

Ta có $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=k$ $\Leftrightarrow \left[ {{x}^{2}}+(a+b)x+ab \right]\left[ {{x}^{2}}+(c+d)x+cd \right]=k$

Khi đó đặt $t=x^{2}+(a+b) x$, sau đó khai triển và sử dụng máy tính cầm tay để giải phương trình bậc 2 tìm nghiệm $t$ : $(t+a b)(t+c d)=k$

Từ đó tìm nghiệm $x$ bằng cách giải phương trình $x^{2}+(a+b) x-t=0$

Bên cạnh đó, khi gặp phải các bài toán giải phương trình tích, phương trình chứa mẫu số , phương trình trùng phương, chúng ta thường áp dụng phương pháp đưa về phương trình bậc 2 để giải quyết.

Một số bài toán thường gặp

Bài toán 1. Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5$

b. $\dfrac{2 x+1}{x}+5 \dfrac{x}{2 x+1}=6$

Bình luận: $\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5$là một phương trình chứa căn. Để khử căn thức trong phương trình trên ta đặt $\sqrt{x}=t\left( t\ge 0 \right)$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt{x}-x=2 \sqrt{x}+5$

Đặt $t=\sqrt{x}\left( t\ge 0 \right)$

Khi đó phương trình đã cho trở thành $t-{{t}^{2}}=2t+5$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+5=0$

Ta có: $\Delta=1-20<0$.

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

b. $\dfrac{2 x+1}{x}+5 \dfrac{x}{2 x+1}=6$

Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & x\ne 0 \\ & x\ne \dfrac{-1}{2} \\\end{align} \right.$

Đặt $t=\dfrac{2x+1}{x}$. Khi đó phương trình đã cho trở thành

$t+\dfrac{5}{t}=6$ $\Leftrightarrow t^{2}+5=6 t \Leftrightarrow t^{2}-6 t+5=0 \Leftrightarrow(t-1)(t-5)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t=1} \\ {t=5}\end{array}\right.$

image001 image002 image003

Với $t=1$ ta có $\dfrac{2 x+1}{x}=1 \Leftrightarrow x=2 x+1 \Leftrightarrow x=-1$

Với $t=5$ ta có $\dfrac{2 x+1}{x} =5\Leftrightarrow 5 x=2 x+1 \Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=-1$ và $x=\dfrac{1}{3}$

Bài toán 2. (Phương trình chứa căn) Giải các phương trình sau:

a. $\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-11}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}$

b. $\sqrt{2{{x}^{2}}+3x-5}=x+1$

c. $\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-3x}=0$

Hướng dẫn giải

a. $\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-11}=\sqrt{{{x}^{2}}-1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 2{{x}^{2}}-3x-11\ge 0 \\ & {{x}^{2}}-1\ge 0 \\ & 2{{x}^{2}}-3x-11={{x}^{2}}-1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x<\dfrac{3-\sqrt{97}}{4}\vee x>\dfrac{3+\sqrt{97}}{4} \\ & x<-1\vee x>1 \\ & {{x}^{2}}-3x-10=0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\le -1\vee x>\dfrac{3+\sqrt{97}}{4} \\& x=5\vee x=-2 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-2 \\ & x=5 \\\end{align} \right.$

Để giải nhanh và chính xác các phương trình và bất phương trình bậc 2 ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay

Đối với Casio fx- 580VN X ta vào wz23 để giải các bất phương trình

image004 image005

image006 image007

Để giải phương trình bậc 2 ta ấn w922

image008 image002 1 image009

b. $\sqrt{2{{x}^{2}}+3x-5}=x+1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x+1\ge 0 \\& 2{{x}^{2}}+3x+5={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\ & 2{{x}^{2}}+3x+5={{x}^{2}}+2x+1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -1 \\ & {{x}^{2}}+x+4=0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x\ge -1 \\& \Delta =-15<0 \\\end{align} \right.$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chú ý:

Đối với máy tính Casio fx-580VN X, dòng máy này có tính năng thông báo vô nghiệm khi giải phương trình, hệ phương trình

Để cài đặt tính năng thông báo vô nghiệm ta lần lượt bấm các phím sau qwR42

c. $\left( x-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-3x}=0$

Trường hợp 1. $\left\{ \begin{align}  & x-1=0 \\  & {{x}^{2}}-3x\ge 0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=1 \\  & x\le 0,x\ge 3 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow $ vô nghiệm

Trường hợp 2. ${{x}^{2}}-3x=0$ $\Leftrightarrow x\left( x-3 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\  & x=3 \\ \end{align} \right.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=0$ và $x=3$

Bài toán 3. Giải phương trình

a. $x(x+1)(x+2)(x+3)=1$

b. $x\left(x^{2}-4\right)(x+4)-1=0$

Hướng dẫn giải

a. $x(x+1)(x+2)(x+3)=1$

Ta có $0+3=1+2$ nên ta sẽ phân tích phương trình đã cho thành $\left( {{x}^{2}}+3x \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)=1\left( * \right)$

Đặt $t={{x}^{2}}+3x$ . Khi đó phương trình (*) trở thành

$t\left( t+2 \right)=1$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-1=0$

${\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=2>0$

Như vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

${{t}_{1}}=-1+\sqrt{2}$; ${{t}_{2}}=-1-\sqrt{2}$

Với ${{t}_{1}}=-1+\sqrt{2}$ ta có ${{x}^{2}}+3x=-1+\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+1-\sqrt{2}=0$

$\Delta =9-4\left( 1-\sqrt{2} \right)=5+4\sqrt{2}>0$

Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=\dfrac{-3+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}$ ; ${{x}_{2}}=\dfrac{-3-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}$

Với ${{t}_{1}}=-1-\sqrt{2}$ ta có ${{x}^{2}}+3x=-1-\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x+1+\sqrt{2}=0$

$\Delta =9-4\left( 1+\sqrt{2} \right)=5-4\sqrt{2}<0$. Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=\dfrac{-3+\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}$ ; ${{x}_{2}}=\dfrac{-3-\sqrt{5+4\sqrt{2}}}{2}$

b. $x\left(x^{2}-4\right)(x+4)-1=0$

 $x\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+4 \right)-1=0\Leftrightarrow x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)=1$

Ta có $0+2=-2+4$, do đó ta sẽ phân tích phương trình đã cho thành $\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x-8 \right)=1$ (*)

Đặt $t={{x}^{2}}+2x$. Khi đó phương trình (*) trở thành:

$t\left( t-8 \right)=1$ $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t-1=0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{t}_{1}}=4+\sqrt{17} \\  & {{t}_{2}}=4-\sqrt{17} \\ \end{align} \right.$

image011 image012 image013

Với ${{t}_{1}}=4+\sqrt{17}$ ta được ${{x}^{2}}+2x=4+\sqrt{17}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4-\sqrt{17}=0$ (1)

${\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=1+4+\sqrt{17}=5+\sqrt{17}>0$

Như vậy phương trình (1) có hai nghiệm:

${{x}_{1}}=-1+\sqrt{5+\sqrt{17}}$ hoặc ${{x}_{2}}=-1-\sqrt{5+\sqrt{17}}$

Với ${{t}_{2}}=4-\sqrt{17}$ ta được ${{x}^{2}}+2x=4-\sqrt{17}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-4+\sqrt{17}=0$(2)

${\Delta }’={{{b}’}^{2}}-ac=1+4-\sqrt{17}=5-\sqrt{17}$

Như vậy phương trình (2) có hai nghiệm:

${{x}_{1}}=-1+\sqrt{5-\sqrt{17}}$hoặc ${{x}_{2}}=-1-\sqrt{5-\sqrt{17}}$

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt: ${{x}_{1}}=-1+\sqrt{5+\sqrt{17}}$,${{x}_{2}}=-1-\sqrt{5+\sqrt{17}}$ , ${{x}_{3}}=-1+\sqrt{5-\sqrt{17}}$ , ${{x}_{4}}=-1+\sqrt{5-\sqrt{17}}$

Chia sẻ

About Ngọc Hiền Bitex

Bitex Ngọc Hiền

Bài Viết Tương Tự

cute asian kid doing math 1024x683 1611832491

Thắc mắc hỏi Thầy Sơn

  Thắc mắc của Thầy Hiền thú vị nhưng không phải lạ vì cách đây …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết