Định lý Wilson và áp dụng

Áp dụng:

Giải:

$11$ là số nguyên tố nên $10!\equiv -1$ (mod $11$). Suy ra $10!+1\equiv 0$ (mod $11$), nghĩa là $10!+1$ chia hết cho 11.

Giải:

$31$ là số nguyên tố nên $30!\equiv -1$ (mod $31$). Suy ra

$30\times 29\times 28\times 27\times 26\times 25! \equiv -1$ (mod $31$).

Vì $30, 29, 28, 27, 26$ lần lượt đồng dư với $-1, -2, -3, -4, -5$ theo mô-đu-lô 31 nên

$(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)\times 25! \equiv -1$ (mod $31$).

$(-1)^5\times 5!\times 25! \equiv -1$ (mod $31$), nghĩa là $5!\times 25!\equiv 1$ (mod $31$)

Giải:

Ta có: $(p-1)! \equiv -1$ (mod $p$).

Vì $p \geqslant 3$ nên ta có thể viết: $(p-1)!=(p-1)(p-2)(p-3)! \equiv -1$ (mod $p$)

$(p-1)(p-2)=p^2-3p+2 \equiv 2$ (mod $p$).

Vậy $2(p-3)! \equiv -1$ (mod $p$.)

Sau đây là một áp dụng không liên quan đến giai thừa.

Giải:

Ta có : Vì $7$ là số nguyên tố nên theo định lý Wilson ta có:

$5^6\equiv -1$ (mod $7$)

Suy ra $5^{100}=(5^6)^{16}\times 5^4 \equiv 5^4$ (mod $7$).

$5^4 \equiv 2$ (mod $7$).

Vậy dư của phép chia $5^{100}$ cho $7$ bằng $2$.

Nhận xét. Những bài toán trên được ra đời vào thời kỳ chưa có máy tính cầm tay (khoảng năm 1970) . Do đó ta phải xây dựng các định lý mạnh. Ngày nay với máy tính cầm tay khá phổ biến, ta có thể giải trực tiếp các bài tập đó, ví dụ bài 4 như sau:

$100=4+32+64 \Rightarrow 5^{100}=5^4\times \underbrace{5^{32}\times 5^{64}}_{\text{số sau là bình phương của số trước}}$.

Vì $5^4\equiv 2$ (mod $7$) nên bình phương nhiều lần dư của phép chia trước, ta có $5^{32} \equiv 4$ (mod $7$) và

$\quad 5^{64}\equiv 2 $ (mod 7). Suy ra $5^{100} \equiv 2.4.2=16 $ (mod $7$). Do đó $5^{100} \equiv 2$ (mod $7$.)

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.