Câu phương trình Chuyên Đại học Vinh năm 2016 Lần 2

Câu phương trình Chuyên Đại học Vinh năm 2016 Lần 2
 
$${2^{\sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {4^x}{\log _2}\left( {3x} \right)$$
Điều kiện: $x >0$.
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) = {2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)\,\,\,\,(1)$$
 
Nhận thấy $f(u)=f(v)$ với $u = x + \sqrt {{x^2} + 1} ;v = 3x$ và hàm đặc trưng $f(t)=2^t+\log_2{t}$.
Tuy nhiên miền xác định của $u$ là $D_u=\left( {1; + \infty } \right)$ còn $D_v=\left( {1; + \infty } \right)$
Hai miền xác định này không trùng nhau, hơn nữa $3x > 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{3}$ nên xét hai trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: $0<x\leq \dfrac{1}{3}$. Khi đó $${2^{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)>0$$, $${2^{3x}}{\log _2}\left( {3x} \right)<0$$
 
Vậy với $x$ thuộc miền này thì phương trình vô nghiệm.
+ Trường hợp 2: $x>\dfrac{1}{3}$, lúc này $D_u$ trùng $D_v$ nên xét hàm $f(t)=2^t+\log_2{t}$ có:
$$f'(t) = {2^t}\ln 2{\log _2}t + {2^t}.\dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0{\rm{  }}\forall t \in (1; + \infty )$$
Suy ra (1) tương đương với $x + \sqrt {{x^2} + 1}  = 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

 

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết