Bài toán HHKG trong đề thi HSG MTCT tỉnh Kiên Giang 2014-2015

Đề bài:

1.Cho \left ( d_{1} \right ):\left ( m-1 \right )x+\left ( m-2 \right )y+2-m=0\left ( d_{2} \right ):\left ( 2-m \right )x+\left ( m-1 \right )y+3m-5=0  điểm A\left ( 0; 1 \right ) và B\left ( 2; -1 \right ). Gọi P là giao điểm của d_{1} và d_{2} . Tìm m để PA+PB  đạt giá trị lớn nhất?

2)Tính số đo góc AOB (theo độ phút giây) của tứ diện đều ABCD tâm O.

Bài giải:

1.Ta có: d_{1}, d_{2} có pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}}=\left ( m-1; 2-m \right ) ; \overrightarrow{n_{2}}=\left ( 2-m;m-1 \right ) và \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0 nên d_{1}\bot d_{2}.

Mặt khác, dễ có A\in d_{1} và B\in d_{2} ; \overrightarrow{AB}=\left ( 2; -2 \right )

Do đó P thuộc đường tròn \left ( C \right ) đường kính AB có tâm I\left ( 1; 0 \right ) , bán kính R=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}

\left ( C \right ) có phương trình \left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}=2

Gọi PH là đường cao của \Delta PAB . Ta có: \left ( PA+PB \right )^{2}=PA^{2}+PB^{2}+2PA.PB=AB^{2}+2PH.AB

PA+PB đạt GTLN \Leftrightarrow PH đạt GTLN \Leftrightarrow H\equiv I

Kẻ \Delta qua I\Delta \bot AB\Delta có phương trình 2\left ( x-1 \right )-2\left ( y-2 \right )=0\Leftrightarrow x-y-1=0

Do đó P=\Delta \cap \left ( C \right ) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

\left\{\begin{matrix} x-y-1=0 & & \\ \left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}=2& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+1 & & \\ \left ( x-2 \right )^{2}+y^{2}=2& & \end{matrix}\right.\Rightarrow y^{2}=1

+y=1\Rightarrow x=2

y=-1\Rightarrow x=0

Với P\left ( 2; 1 \right ) thay  vào \left ( d_{1} \right )  \left ( m-1 \right )2+\left ( m-2 \right )1+2-m=0\Rightarrow m=1

P\left ( 0; -1 \right ) thay vào \left ( d_{1} \right )  \left ( m-1 \right )0+\left ( m-2 \right )\left ( -1 \right )+2-m=0\Rightarrow m=2

Vậy m=1 và m=2 thỏa yêu cầu.

2) Gọi H là trực tâm của \Delta BCD\Rightarrow AH \bot \left ( BCD \right )

Trong mặt phẳng \left ( ABH \right ), qua trung điểm I của AB kẻ \Delta\bot AB\Delta cắt AH tại O.

Đặt AB=a. Trong tam giác ABH có sinA=\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}

\Rightarrow A=arsin\frac{\sqrt{3}}{3}  (gán biến A)

Tam giác ABO cân tại O có góc AOB=180-2A\approx 109^{0}28'16

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

VỀ BÀI TOÁN TÍNH PHÂN TRONG BÀI THI HSG MÁY TÍNH CẦM TAY (TP HCM) NĂM 2019

Gọi $d$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{\sqrt{4x^2+2x+1}} \ (C)$ tại điểm …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết