Bài toán HHKG trong đề thi HSG MTCT tỉnh Kiên Giang 2014-2015

08/11/2017
523 lượt xem
casiobitex

Đề bài:

1.Cho $\left ( d_{1} \right ):\left ( m-1 \right )x+\left ( m-2 \right )y+2-m=0$ , $\left ( d_{2} \right ):\left ( 2-m \right )x+\left ( m-1 \right )y+3m-5=0$ điểm $A\left ( 0; 1 \right )$ và $B\left ( 2; -1 \right )$ . Gọi $P$ là giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$ . Tìm $m$ để $PA+PB$ đạt giá trị lớn nhất?

2)Tính số đo góc $AOB$ (theo độ phút giây) của tứ diện đều $ABCD$ tâm $O$ .

Bài giải:

1.Ta có: $d_{1}, d_{2}$ có pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{1}}=\left ( m-1; 2-m \right )$ ; $\overrightarrow{n_{2}}=\left ( 2-m;m-1 \right )$ và $\overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}}=0$ nên $d_{1}\bot d_{2}$ .

Mặt khác, dễ có $A\in d_{1}$ và $B\in d_{2}$ ; $\overrightarrow{AB}=\left ( 2; -2 \right )$

Do đó $P$ thuộc đường tròn $\left ( C \right )$ đường kính $AB$ có tâm $I\left ( 1; 0 \right )$ , bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{2}$

$\left ( C \right )$ có phương trình $\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}=2$

Gọi $PH$ là đường cao của $\Delta PAB$ . Ta có: $\left ( PA+PB \right )^{2}=PA^{2}+PB^{2}+2PA.PB=AB^{2}+2PH.AB$

$PA+PB$ đạt GTLN $\Leftrightarrow PH$ đạt GTLN $\Leftrightarrow H\equiv I$

Kẻ $\Delta$ qua $I$ , $\Delta \bot AB$ , $\Delta$ có phương trình $2\left ( x-1 \right )-2\left ( y-2 \right )=0\Leftrightarrow x-y-1=0$

Do đó $P=\Delta \cap \left ( C \right )$ có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x-y-1=0 & & \\ \left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}=2& & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y+1 & & \\ \left ( x-2 \right )^{2}+y^{2}=2& & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow y^{2}=1$