Đặc điểm của khối tứ diện khi biết trước độ dài của 6 cạnh

Đặt vấn đề: Khi ta gặp một khối tứ diện với độ dài  6 cạnh không có tính chất gì đặc biệt (chẳng hạn không có ba cạnh nào bằng nhau mà cùng đi qua 1 đỉnh, không có cạnh nào vuông góc với mặt phẳng đi qua 3 đỉnh còn lại v.v…) thì ta có các công thức hữu ích sau đây để trả lời  câu trắc nghiệm VDC (thường là từ câu 45 -50).

  1. Thể tích $V$ của khối tứ diện đó.
  2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp  khối tứ diện đó.
  3. Góc tạo bởi hai cạnh đối diện.
  4. Khoảng cách ngắn nhất của hai cạnh đối diện.

Các công thức 1 và 2 chúng tôi đã trình bày nhiều lần, chẳng hạn trong quyển sách “Giải nhanh bài thi trắc nghiệm môn Toán trên MTCT Casio fx-580 VNX”. Trên diễn đàn này chúng tôi giới thiệu và chứng minh hai công thức còn lại. 

3) Góc tạo bởi hai cạnh AB và CD

td 1

$\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{AB.CD}=\dfrac{(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}).\overrightarrow{CD}}{cf}$

$=\dfrac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{CD}\right)^2+\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CD}}{cf}=\dfrac{d^2+f^2-b^2-2f^2+f^2+a^2-e^2}{2cf}$

Vậy:

$$\cos(AB,CD)=\dfrac{\left|a^2+d^2-b^2-e^2\right|}{2cf}$$

4) Khoảng cách $d(AB,CD)$

Áp dụng công thức tính thế tích

$$V_{ABCD}=\dfrac16.AB.CD.d(AB,CD).\sin (AB,CD)$$

Suy ra 

$$d(AB,CD)=\dfrac{6V_{ABCD}}{AB.CD.\sin(AB,CD)}=\dfrac{12V_{ABCD}}{\sqrt{4c^2f^2-(a^2+d^2-b^2-e^2)^2}}$$

cau33 1

Đây là đề thi thử Chuyên Vinh lần 3 năm 2019

Giải:

td2

Ngoài phương pháp truyền thống: 

  • Đo độ dài  đoạn vuông góc  chung
  • Tính khoảng cách từ 1 điểm trên đường thẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng  kia và có cặp vectơ chỉ phương là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 
  • Dùng tích hỗn tạp và độ dài của tích có hướng

Hôm nay ta biết thêm một cách nữa đó là xét tứ diện $SBCM$ với 6 cạnh như sau:

  • $SC=\sqrt{14}a, BM=\sqrt2 a$
  • $SB=\sqrt{13}a, CM=a$
  • $SM=\sqrt{11}a, BC=a$

Áp dung công thức vừa chứng minh, thao tác trên MTCT Casio fx-580 VNX ta có:

td3 1

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

mohit kadyan division of complex numbers 01 1608629697

Sử dụng số phức chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài viết sau đây dành cho học sinh đã tự học trong hè xong chương …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết