Về công thức xác định góc giữa hai mặt bên của một khối tứ diện

Đặt vấn đề: Cho khối tứ diện $ABCD$. Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$

 

gocnd

Ta có công thức

$$\sin\varphi=\dfrac{3}{2}.\dfrac{V_{ABCD}.CD}{S_{ACD}.S_{BCD}}$$

Chứng minh: Hạ đường cao $AH$ của hình chóp. Hạ $HI \perp CD$. Khi đó góc $\widehat{AIH}$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$. Trong tam giác vuông $AHI$ ta có: $$\sin\varphi=\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{\dfrac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}}}{\dfrac{2S_{ACD}}{CD}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{V_{ABCD}.CD}{S_{ACD}.S_{BCD}}$$

Áp dụng: Đề thi thử Chuyên Vinh lần 1 /2020

c43cv

Giải:

Áp dụng công thức trên ta có:

$$\sin60^\circ=\dfrac32.\dfrac{V_{SABC}.AB}{S_{ABC}.S_{SAB}}\Rightarrow S_{SAB}=\dfrac32.\dfrac{V_{SABC}.AB}{S_{ABC}.\sin 60^\circ}=\dfrac{3V_{SABC}}{AC\sin 60^\circ}$$

Ta tính được:

$$d(I,(SAB))=\dfrac{3V_{SABI}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac32 V_{SABC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac32 V_{SABC}}{\dfrac{3V_{SABC}}{AC\sin 60^\circ}}=\dfrac{AC.\sin 60^\circ}{2}=\dfrac{a\sqrt3}{4}$$

ta chọn A.

 

Nhận xét: Kết quả của bài toán không phụ thuộc vào hình chiếu vuông góc  của $S$  trên mặt phẳng $(ABC)$, nghĩa là đã cho giả thiết góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ thì không cho thêm giả thiết hình chiếu vuông góc  của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Số nghiệm của phương trình hàm hợp, VDC Chuyên QH Huế

Đặt $t=|x^2-1|-2$, đồ thị của $t$ theo $x$ như sau: Ta thấy phương trình  $f\left(\left|x^2-1\right|-2\right)=m$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết