BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Vấn đề tìm nguyên hàm của hàm số vô tỷ (ii)
- 25/09/2019
- 192 lượt xem
Kỳ trước chúng tôi đề cập đến việc tính tích phân $\int{\frac{1}{1+{{x}^{3}}}dx}$ và đã tính ra được kết quả đẹp. Cụ thể là: $$\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}dx=\dfrac{1}{3}\ln \left| x+1 \right|-\dfrac{1}{6}\ln \left| {{x}^{2}}-x+1 \right|+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}+C}$$ Tuy không sử dụng trong kỳ thi trắc nghiệm, nhưng việc tính được tích phân này rèn luyện thêm kỹ năng tính toán cho học sinh và tăng thêm kinh nghiệm tính tích phân cho giáo viên.
Tiếp tục lộ trình, chúng tôi mời các bạn cùng với chúng ta cùng tính $\int{\frac{1}{1+{{x}^{4}}}dx}$.
Tính $\int{\frac{1}{1+{{x}^{4}}}dx}$
Trước khi bắt đầu công việc chúng tôi nhắc lại công thức sau đây:
$$\int{\frac{d\text{x}}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{-\Delta }}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+C$$
Trong đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$.
Ta có: $\dfrac{1}{1+{{x}^{4}}}=\dfrac{Ax+B}{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}+\dfrac{Cx+D}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1}$
Bằng phương pháp hệ số bất định, giải hệ bốn phương trình tuyến tính
$$\left\{ \begin{aligned} & A+C=0 \\ & -A\sqrt{2}+B+C\sqrt{2}+D=0 \\ & A-B\sqrt{2}+C+D\sqrt{2}=0 \\ & B+D=0 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & A=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ & B=\frac{1}{2} \\ & C=-\frac{\sqrt{2}}{4} \\ & D=\frac{1}{2} \\\end{aligned} \right.$$
Kết quả
Lưu hai nghiệm $x$ vào $A$ và $z$ vào $C$, tính $AC$ ta được
Vậy: $$\frac{1}{1+{{x}^{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\left[ \frac{2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}}{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}-\frac{2x-\sqrt{2}-\sqrt{2}}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right]$$
Suy ra:
$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \frac{2x+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \frac{2x-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+C$$
Do đó
$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}+1 \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}-1 \right)+C$$
Kiểm tra trên máy tính Casio fx-580VNX
Mở w8 nhập hàm số
Cho $x$ chạy
Kểt quả là
45 giá trị của $x$ đều cho kết quả là hằng $C=0$
Kết luận
$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}+1 \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}-1 \right)+C$$
Từ kết quả trên, ta có thể áp dụng nó để tính nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sqrt{\tan x}$. Tuy nhiên, diễn đàn sẽ để lại bài toán này trong bài viết sau. Diễn đàn thân mời các bạn tham gia viết lời giải tự luận cho nguyên hàm nói trên. Các bạn nhớ đón đọc bài viết sau của diễn đàn nhé.
TS. Nguyễn Thái Sơn – Vũ Nhân Khánh
About Bitex Khánh Vũ
