Vấn đề tìm nguyên hàm của hàm số vô tỷ

Do đặc thù của kỳ thi THPT QG là thi bằng hình thức trắc nghiệm, nên việc tính cho được nguyên hàm của một hàm số ngày càng mai một, ngay cả đối với người dạy. Hậu quả là nhiều sinh viên ĐH Bách khoa (rất cần giỏi tính toán) đã không vượt qua được yêu cầu đào tạo dù điểm số trúng tuyển đại học không phải thấp.
Trong bối cảnh đó, diễn đàn muốn trao đổi với một số thầy cô dạy Toán 12 về một chuỗi các tích phân rất thú vị nếu chúng ta đầu tư thời gian và công sức để tính được các tích phân đó.

Đặt vấn đề

Ta bắt đầu từ việc đơn giản nhất đó là tính $\int{\dfrac{1}{1+x}dx}$ và ta biết ngay $$\int{\dfrac{1}{1+x}dx}=\ln\left| x+1 \right|+C$$

Thêm một bước ta có

$$\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{2}}}dx=\arctan x+C}$$

Vậy $\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}dx}$ sẽ ra sao?

Trước khi bắt đầu công việc chúng ta cần biết công thức sau đây:

$$\int{\dfrac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}}=\dfrac{2}{\sqrt{-\Delta }}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+C$$

Trong đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$.

Ta có: $\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{Bx+C}{{{x}^{2}}-x+1}$

Bằng phương pháp hệ số bất định, giải hệ ba phương trình tuyến tính

h1

Kết quả:

h2
h3
h4

Vậy $$\dfrac{1}{1+x^{3}}=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{x-2}{x^{2}-x+1}\right]=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2 x-1-3}{x^{2}-x+1}\right]$$

Do đó

$$\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}dx=\dfrac{1}{3}\ln \left| x+1 \right|-\dfrac{1}{6}\ln \left| {{x}^{2}}-x+1 \right|+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}+C}$$

Kiểm tra trên máy tính Casio fx-580VNX

Mở w8 nhập hàm số

h5

Cho $x$ chạy

h6

Kết quả là

h7
h8

$45$ giá trị của $x$ đều cho kết quả là hằng $C=0.302299894$

Kết luận

$$\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}dx=\dfrac{1}{3}\ln \left| x+1 \right|-\dfrac{1}{6}\ln \left| {{x}^{2}}-x+1 \right|+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}+C}$$

Áp dụng cho câu trắc nghiệm:

Câu 1. Cho $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}$ sao cho $F\left( 0 \right)=-\dfrac{\pi \sqrt{3}}{18}$. Khi đó $F\left( 1 \right)$ bằng

a. $\dfrac{1}{3}\ln 2-\dfrac{\pi \sqrt{3}}{18}$.

b. $\dfrac{1}{3}\ln 3-\dfrac{\pi \sqrt{3}}{18}$

c. $\dfrac{1}{3}\ln 2+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{18}$

d. $\dfrac{1}{3}\ln 2+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{18}$

Hướng dẫn

Sử dụng máy tính Casio fx-580VNX

h9

Thử phương án C

h10

Lưu ý. Lời giải tự luận dành cho giáo viên dùng để ra đề, cách trả lời trên máy tính dành cho học sinh.

Bài toán kì tới. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{1+{{x}^{4}}}$.

Diễn đàn thân mời các bạn tham gia viết lời giải tự luận cho nguyên hàm nói trên.

TS. Nguyễn Thái Sơn – Vũ Nhân Khánh

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết