Vài bổ đề để giải câu 49 Chuyên Lam Sơn (Thanh Hoá) 21/6/2020

Bổ đê 1: Định lý Mê-nê-la-uyt

Cho tam giác $ABC$ cát tuyến $d$ cắt $AB, BC, CA$ lần lượt tại $M, N, P$.  Ta có hệ thức:

$$\dfrac{MA}{MB}\times \dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}=1$$

me 1

Chứng minh:

Từ $C$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $MN$ tại $D$.

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác $BMN$ ta có:

$$\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{BM}{CD}$$

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác $PAM$ ta có:

$$\dfrac{PC}{PA}=\dfrac{CD}{AM}$$

Nhân hai đẳng thức trên với nhau vế theo vế, ta có:

$$\dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}= \dfrac{MB}{MA}$$

Suy ra $$\dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}\times \dfrac{MA}{MB}=1$$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng: Cho tam giác $A, B, C$.  Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $G$ là điểm trên cạnh $AC$ kéo dài về phía $C$ một đoạn sao cho $GC=\dfrac13GA$. Đđường thẳng $GM$ cắt $AB$ tại $H$. Tính các tỉ số $\dfrac{GM}{GH}$ và $\dfrac{HA}{HB}$.

Giải

me

Áp dụng định lý Mê-nê-lu-uyt cho tam giác $ABC$, cát tuyến $HMG$:
$$\dfrac{H\dots }{H\dots }\times \dfrac{M\dots }{M\dots }\times \dfrac{G\dots }{G\dots }=1$$

$$\dfrac{HA}{HB}\times \dfrac{MB}{MC}\times \dfrac{GC}{GA}=1\Rightarrow \dfrac{HA}{HB}=3$$

Áp dụng định lý Mê-nê-lu-uyt cho tam giác $AHG$, cát tuyến $BMC$:
$$\dfrac{B\dots }{B\dots }\times \dfrac{M\dots }{M\dots }\times \dfrac{C\dots }{C\dots }=1$$

$$\underbrace{\dfrac{BA}{BH}}_{4}\times \dfrac{MH}{MG}\times \underbrace{\dfrac{CG}{CA}}_{\dfrac12}=1\Rightarrow \dfrac{MH}{MG}=\dfrac12\Rightarrow \dfrac{GM}{GH}=\dfrac23$$

Bổ đê 2: Tỉ số diện tích

tg

Cho tam giác $ABC$. Trên $AB$ lấy điểm $M$, trên $AC$ lấy điểm $N$. Khi đó 

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}\times \dfrac{AN}{AC}$$

Chứng minh: 

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM.AN.\sin A}{AB.AC.\sin A}=\dfrac{AM}{AB}\times \dfrac{AN}{AC}$$ Đó là đpcm.

Bổ đê 2: Tỉ số thể tích

td

Cho tứ diện $ABCD$. Trên $AB$ lấy điểm $E$, trên $AC$ lấy điểm $F$, trên $AD$ lấy điểm $G$. Khi đó 

$$\dfrac{V_{AEFG}}{S_{ABCD}}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AF}{AC}\times \dfrac{AG}{AD}$$

 

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ thì 

$$\dfrac{V_{AEFG}}{S_{ABCD}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3$$

 

Chứng minh:

tstt 1

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$ thì $EF$ song song với $BC$ và $EG$ song song với $BD$. Khi đó:

$$\dfrac{V_{AEFG}}{V_{ABCD}}=\dfrac{d(A,(EFG))\times S_{EFG}}{d(A,(BCD))\times S_{BCD}}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{EF.EG}{BC.BD}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{EF}{BC}\times \dfrac{EG}{BD}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AE}{AB}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3$$

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ không song song với mặt phẳng $(BCD)$ thì ta vẽ $EH$ song song với $BC$ căt $AC$ tại $H$ và $EI$ song song với $BD$ cắt $AD$ tại $I$.

$$\dfrac{V_{AEFG}}{V_{ABCD}}=\dfrac{V_{AEFG}}{V_{AEHI}}\times \dfrac{V_{AEHI}}{V_{ABCD}}=\dfrac{V_{EAFG}}{V_{EAHI}}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=\dfrac{AF}{AH}\times \dfrac{AG}{AI}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=$$

$$=\dfrac{AF}{\dfrac{AE}{AB}\times AC}\times \dfrac{AG}{\dfrac{AE}{AB}\times AD}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AF}{AC}\times \dfrac{AG}{AD}$$

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Khai thác công thức tính thể tích khối tứ diện

Trong thời gian, qua trên diễn đàn này chúng tôi đã  nhiều lần giới thiệu …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết