Ứng dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số căn bậc hai của tanx

Ở những bài viết trước, diễn đàn đã chia sẻ về cách tính những tích phân của các hàm số vô tỉ $\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{n}}}dx}$  với $n=1,n=2,n=3$ và $n=4$.
Tiếp theo loạt bài viết này, chúng tôi trình bày cách tính nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{\tan x}$. Những bài tập này tuy không giúp ích được nhiều trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Tuy nhiên nó sẽ giúp các bạn rèn luyện nhiều về kĩ năng tính toán và biến đổi. Một thứ khá cần thiết cho những ai đang muốn học những ngành liên quan đến kĩ thuật.

Tìm nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{\tan x}$

Trước khi đi vào tính toán, ta nhắc lại công thức sau:

$$\int{\dfrac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\dfrac{2}{\sqrt{-\Delta }}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+C}$$

Trong đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$.

Đặt $t=\sqrt{\tan x}\Rightarrow x=\arctan {{t}^{2}}\Rightarrow dx=\dfrac{2tdt}{1+{{t}^{4}}}$.

Khi đó $\displaystyle I=\int{\sqrt{\tan x}dx\Rightarrow \int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}}}$

Ta có: $\dfrac{2{{t}^{2}}}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{At+B}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1}+\dfrac{Ct+D}{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}$

Bằng phương pháp hệ số bất định, giải hệ bốn phương trình tuyến tính

$$\left\{ \begin{aligned}  & A+C=0 \\ & -A\sqrt{2}+B+C\sqrt{2}+D=2 \\ & A-B\sqrt{2}+C+D\sqrt{2}=0 \\ & B+D=0 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & A=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & B=0 \\ & C=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & D=0 \\\end{aligned} \right.$$

pTDKP8

Kết quả

hm1 hm2 hm3 hm4

Lưu hai nghiệm $x$ vào $A$ và $y$ vào $B$

hm5 hm6

Vậy $\dfrac{1}{1+{{t}^{4}}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left[ \dfrac{2t+\sqrt{2}-\sqrt{2}}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1}-\dfrac{2t-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1} \right]$

Suy ra:

$$\int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{2t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{2t-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+C$$

Do đó

$$\int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t+1 \right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t-1 \right)+C$$

Kiểm tra trên máy tính Casio fx-580VNX

Mở w8 nhập hàm số

Picture3

Cho $x$ chạy

tp27.1 1

Kết quả là

Picture2

$45$ giá trị của $x$ đều cho kết quả là hằng $C\approx 0$.

Kết luận$$\int{\sqrt{\tan x}dx=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t+1 \right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t-1 \right)+C$$

trong đó $t=\sqrt{\tan x}$.

Đây đã là phần tính toán cuối cùng trong bài viết. Tuy nhiên, nhằm muốn các  Ở bài viết sau, diễn đàn sẽ chia sẻ đến mọi người một số công cụ tính toán trên máy tính nhằm giúp các bạn có thể thuận tiện hơn khi tính toán và kiểm tra những phép tính phức tạp. Trân trọng.

TS. Nguyễn Thái Sơn – Vũ Nhân Khánh

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết