Ứng dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số căn bậc hai của tanx

Ở những bài viết trước, diễn đàn đã chia sẻ về cách tính những tích phân của các hàm số vô tỉ $\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{n}}}dx}$  với $n=1,n=2,n=3$ và $n=4$.
Tiếp theo loạt bài viết này, chúng tôi trình bày cách tính nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{\tan x}$. Những bài tập này tuy không giúp ích được nhiều trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Tuy nhiên nó sẽ giúp các bạn rèn luyện nhiều về kĩ năng tính toán và biến đổi. Một thứ khá cần thiết cho những ai đang muốn học những ngành liên quan đến kĩ thuật.

Tìm nguyên hàm của hàm số $y=\sqrt{\tan x}$

Trước khi đi vào tính toán, ta nhắc lại công thức sau:

$$\int{\dfrac{dx}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\dfrac{2}{\sqrt{-\Delta }}\arctan \dfrac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+C}$$

Trong đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$.

Đặt $t=\sqrt{\tan x}\Rightarrow x=\arctan {{t}^{2}}\Rightarrow dx=\dfrac{2tdt}{1+{{t}^{4}}}$.

Khi đó $\displaystyle I=\int{\sqrt{\tan x}dx\Rightarrow \int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}}}$

Ta có: $\dfrac{2{{t}^{2}}}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{At+B}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1}+\dfrac{Ct+D}{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}$

Bằng phương pháp hệ số bất định, giải hệ bốn phương trình tuyến tính

$$\left\{ \begin{aligned}  & A+C=0 \\ & -A\sqrt{2}+B+C\sqrt{2}+D=2 \\ & A-B\sqrt{2}+C+D\sqrt{2}=0 \\ & B+D=0 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & A=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & B=0 \\ & C=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & D=0 \\\end{aligned} \right.$$

pTDKP8

Kết quả

hm1 hm2 hm3 hm4

Lưu hai nghiệm $x$ vào $A$ và $y$ vào $B$

hm5 hm6

Vậy $\dfrac{1}{1+{{t}^{4}}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\left[ \dfrac{2t+\sqrt{2}-\sqrt{2}}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1}-\dfrac{2t-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1} \right]$

Suy ra:

$$\int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{2t+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \dfrac{2t-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+C$$

Do đó

$$\int{\dfrac{2{{t}^{2}}dt}{1+{{t}^{4}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t+1 \right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t-1 \right)+C$$

Kiểm tra trên máy tính Casio fx-580VNX

Mở w8 nhập hàm số

Picture3

Cho $x$ chạy

tp27.1 1

Kết quả là

Picture2

$45$ giá trị của $x$ đều cho kết quả là hằng $C\approx 0$.

Kết luận$$\int{\sqrt{\tan x}dx=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\ln \left| \dfrac{{{t}^{2}}-\sqrt{2}t+1}{{{t}^{2}}+\sqrt{2}t+1} \right|}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t+1 \right)+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\arctan \left( \sqrt{2}t-1 \right)+C$$

trong đó $t=\sqrt{\tan x}$.

Đây đã là phần tính toán cuối cùng trong bài viết. Tuy nhiên, nhằm muốn các  Ở bài viết sau, diễn đàn sẽ chia sẻ đến mọi người một số công cụ tính toán trên máy tính nhằm giúp các bạn có thể thuận tiện hơn khi tính toán và kiểm tra những phép tính phức tạp. Trân trọng.

TS. Nguyễn Thái Sơn – Vũ Nhân Khánh

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

Capture

THỰC HIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X

Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc giải quyết những bài toán số phức còn gặp nhiều hạn chế. Năm bắt được vấn đề đó, Bitex EDU biên soạn tài liệu này nhằm hỗ trợ các em học sinh 12 một số hướng dẫn giải các bài toán số phức trên máy tính Casio fx-580VN X nhằm giúp các em có những sự chuẩn bị tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết