Sử dụng bất đẳng thức Vector và hàm số tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+y^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex]

Bài giải:

Đặt [latex]\overrightarrow{u}=\left ( 1-x;y \right ), \overrightarrow{v}=\left ( 1+x;y \right )[/latex] và áp dụng bất đẳng thức vector [latex]\left | \overrightarrow{u} \right |+\left | \overrightarrow{v} \right |\geqslant \left | \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v}\right |[/latex]

ta có[latex]P\geqslant \sqrt{4+4y^{2}}+\left | y-2 \right |[/latex]

Xét hai trường hợp

TH1: [latex]y\leq 2[/latex][latex]\Rightarrow f\left ( y \right )=2\sqrt{1+y^{2}}+2-y[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( y \right )=\frac{2y}{\sqrt{1+y^{2}}}-1\Rightarrow f’\left ( y \right )=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}[/latex]

Lập bảng biến thiên ta có [latex]f’\left ( y \right )\geqslant f\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )=2+\sqrt{3}[/latex]

TH2: [latex]y>2\Rightarrow f\left ( y \right )=2\sqrt{1+y^{2}}+y-2>2\sqrt{5}>2+\sqrt{3}[/latex]

Do đó [latex]P_{min}=2+\sqrt{3}[/latex] 

About casiobitex