Hệ phương trình có chứa logarit

Giải hệ phương trình:
  $$\begin{cases} x^2y+y^3-y^2+y=x^2+1 & (1)\\ (6x+y)\log_{\frac{1}{2}}^{2}(x+y)+(x-y)\log_{\sqrt{2}}(x+y)^{3}-7=0 & (2) \end{cases}$$
Điều kiện: $x+y>0 \Leftrightarrow x>-y$, với điều kiện này thì phương trình (1) tương đương:
$(y-1)(x^2+y^2+1)=0 \Leftrightarrow y=1$.
Thế $y=1$ vào (2), ta được:
$$(6x+1)\log_2^2(x+1)+6(x-1)\log_2(x+1)-7=0\,\,\,(3)$$
Điều kiện $x >-1$:
+ Trường hợp 1: $x=\dfrac{-1}{6}$ không là nghiệm của phương trình (3).
+ Trường hợp 2: $x\neq \dfrac{-1}{6}$, ta được:
$$\begin{array}{l} (3) \Leftrightarrow \left[ {{{\log }_2}(x + 1) + 1} \right]\left[ {(6x + 1){{\log }_2}(x + 1) – 7} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\log _2}(x + 1) = – 1\\ {\log _2}(x + 1) + 1 = \dfrac{7}{{6x + 1}} \end{array} \right. \end{array}$$
+ ${\log _2}(x + 1) =  – 1 \Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{2}$. Suy ra $y=1$.
+ ${\log _2}(x + 1) + 1 = \dfrac{7}{{6x + 1}}$ với $x \in \left(-1;-\frac{1}{6}\right) \cup \left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$.
Chia khoảng xác định của $x$ ra làm hai khoảng xác định con:
* $x \in \left(-1;-\frac{1}{6}\right)$, VT là hàm số đồng biến, VP nghịch biến.
Mặt khác $x=-\dfrac{3}{4}$ là nghiệm nên là nghiệm duy nhất trên khoảng này.
* $x \in \left(-\frac{1}{6};+\infty \right)$: VT là hàm số đồng biến, VP nghịch biến.
Mặt khác $x=1$ là nghiệm nên là nghiệm duy nhất trên khoảng này.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;\,y)=\left(-\dfrac{3}{4};\,1\right);\,(x;\,y)=(1;\,1);\, (x;\,y)=\left(-\dfrac{1}{2};\,1\right)$

 

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 43 đề thi minh hoạ 2024 Bộ GD và ĐT

  Góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(B’BC)$ là $30^\circ$ và do tam …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết