Liên hợp THPT Trần Quang Khải TPHCM 2016 Lần 3
- 30/10/2017
- 154 lượt xem
Liên hợp THPT Trần Quang Khải TPHCM 2016 Lần 3
Giải hệ phương trình sau:
$$\begin{cases} xy-y^{2}+2y-x-1=\sqrt{y-1}-\sqrt{x} & (1)\\ 3\sqrt{6-y}+3\sqrt{2x+3y-7}=2x+7 & (2) \end{cases}$$
Giải
Điều kiện:
$$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ 1 \le y \le 6\\ 2x + 3y – 7 \ge 0 \end{array} \right.$$
Nhận thấy $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 1
\end{array} \right.$$ không là nghiệm của hệ phương trình nên $\sqrt {y – 1} + \sqrt x \ne 0$.
Khi đó phương trình (1) tương đương với:
$$\begin{array}{l} x(y – 1) – {(y – 1)^2} = \dfrac{{y – 1 – x}}{{\sqrt {y – 1} + \sqrt x }}\\ \Leftrightarrow (x – y + 1)\left( {y – 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {y – 1} + \sqrt x }}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = y – 1 \end{array}$$
Thay vào phương trình (2) ta được:
$$3\sqrt {5 – x} + 3\sqrt {5x – 4} = 2x + 7(*)$$
Điều kiện:
Với điều kiện trên thì phương trình (*) tương đương với:
$$\begin{array}{l} 7 – x – 3\sqrt {5 – x} + 3\left( {x – \sqrt {5x – 4} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4 – 5x + {x^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{{3\sqrt {5 – x} + 7 – x}} + \dfrac{3}{{\sqrt {5x – 4} + x}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4 – 5x + {x^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 4 \end{array} \right. \end{array}$$
Có thể bình phương hai lần và đưa về phương trình bậc 4 phương trình trên.
Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(1;2);(x;y)=(4;5)$.
Chia sẻ