Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2

Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2
$$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x – y} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – 1} \right)\\ (2y – 1)\sqrt {1 + x} + (2y + 1)\sqrt {1 – x} = 2y \end{array} \right.$$
+ Điều kiện:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} x \ge y\\ – 1 \le x \le 1 \end{array} \right.[/latex]
+ Với $x=0$, suy ra $y=0$.
+ Với $x \neq 0$, phương trình (1) tương đương với:
$$x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) + \frac{{3{x^2}\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right){\rm{ (*)}}$$
Xét hàm số $f(t)=t\left(\sqrt{t^2+1}+1\right)$ trên $\mathbb{R}$.
$$\begin{array}{l} f(t) = t + t\sqrt {{t^2} + 1} \\ f'(t) = 1 + \sqrt {{t^2} + 1} + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0{\rm{ }}\forall {\rm{t}} \in \end{array}$$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra phương trình (*) tương đương với $x=y$.
Có thể nói người ra đề đã hướng tới phương pháp hàm số không hoàn toàn.
Thay $x=y$ vào phương trình (2), ta được:
  $$\left( {2x – 1} \right)\sqrt {1 + x}  + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x}  = 2x$$
Điều kiện: $-1 \leq x \leq 1, x\, \neq 0$.
Đặt $a=\sqrt{1+x},\,b=\sqrt{1-x},\,a \geq 0,\,b\geq 0$ thay vào phương trình ta được:
$$\begin{array}{l} \left( {{a^2} – {b^2} – 1} \right)a + \left( {{a^2} – {b^2} + 1} \right)b = \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {a + b} \right) + b – a – \left( {{a^2} – {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a + b = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$$
+ Với $a=b$ thì $x=0$ (loại).
+ Với $a+b=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ tìm được $x =  \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.
Vậy hệ phương trình có các nghiệm $x=y= \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.

 

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

Capture

THỰC HIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X

Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc giải quyết những bài toán số phức còn gặp nhiều hạn chế. Năm bắt được vấn đề đó, Bitex EDU biên soạn tài liệu này nhằm hỗ trợ các em học sinh 12 một số hướng dẫn giải các bài toán số phức trên máy tính Casio fx-580VN X nhằm giúp các em có những sự chuẩn bị tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết