Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2

Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2
$$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x – y} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – 1} \right)\\ (2y – 1)\sqrt {1 + x} + (2y + 1)\sqrt {1 – x} = 2y \end{array} \right.$$
+ Điều kiện:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} x \ge y\\ – 1 \le x \le 1 \end{array} \right.[/latex]
+ Với $x=0$, suy ra $y=0$.
+ Với $x \neq 0$, phương trình (1) tương đương với:
$$x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) + \frac{{3{x^2}\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right){\rm{ (*)}}$$
Xét hàm số $f(t)=t\left(\sqrt{t^2+1}+1\right)$ trên $\mathbb{R}$.
$$\begin{array}{l} f(t) = t + t\sqrt {{t^2} + 1} \\ f'(t) = 1 + \sqrt {{t^2} + 1} + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0{\rm{ }}\forall {\rm{t}} \in \end{array}$$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra phương trình (*) tương đương với $x=y$.
Có thể nói người ra đề đã hướng tới phương pháp hàm số không hoàn toàn.
Thay $x=y$ vào phương trình (2), ta được:
  $$\left( {2x – 1} \right)\sqrt {1 + x}  + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x}  = 2x$$
Điều kiện: $-1 \leq x \leq 1, x\, \neq 0$.
Đặt $a=\sqrt{1+x},\,b=\sqrt{1-x},\,a \geq 0,\,b\geq 0$ thay vào phương trình ta được:
$$\begin{array}{l} \left( {{a^2} – {b^2} – 1} \right)a + \left( {{a^2} – {b^2} + 1} \right)b = \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {a + b} \right) + b – a – \left( {{a^2} – {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a + b = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$$
+ Với $a=b$ thì $x=0$ (loại).
+ Với $a+b=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ tìm được $x =  \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.
Vậy hệ phương trình có các nghiệm $x=y= \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.

 

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (1)

  Giả sử ycbt  là tính d(AB, CD) Cách 1: – Tìm một  mặt phẳng …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết