Từ một bài toán GTNN cổ điển

1. Bài toán mở đầu

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $AM+BM$ đạt giá trị nhỏ nhất.

july1a

 

GIẢI

 

july1b

 

Ta có $AM+BM \geqslant AB =$const

Vì $AB$ là hằng số nên $AM+BM$ đạt giá trị nhỏ nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.

Vì $A$ và $B$ nằm ở hai phía mặt phẳng $M$ cũng là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$.

 
 
 
 
 
 

2. Bài toán mở rộng

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một phía mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $AM+BM$ đạt giá trị nhỏ nhất.

july1c

 

GIẢI

 

Gợi ý: Nếu ta giải như trên

Ta có $AM+BM \geqslant AB =$ const

Vì $AB$ là hằng số nên $AB+BM$ đạt giá trị nhỏ nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$.

Với giả thiết hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một phía mặt phẳng thì điều này không thể xảy ra.

 

Do đó ta phải cải tiến thuật toán như sau:

july1d

  1. 1. Gọi $B’$ là điểm đối xứng của điểm $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
  2. 2. Khi đó
     

    $AM+BM=AM+B’M \geqslant AB’= \text{cont.}$
     
    Vậy $AM+BM$ nhỏ nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB’$

  3. 3. Vì $A$ và $B’$ nằm ở hai phía mặt phẳng $(P)$ nên điểm $M$ như thế tồn tại và là giao điểm của đường thẳng $AB’$  với mặt phẳng $(P)$.

 
 
 
 
 
 
 

3. Áp dụng bằng số

 

Trong không gian $Oxyz$ cho một mặt phẳng $(P): 2x-3y+3z-17=0$ và hai điểm $A(3;-4;7)$ và $B(-5;-14;17)$. Tìm trên mặt phẳng $(P)$ điểm $M$ sao cho $AM+BM$ đạt giá trị nhỏ nhất.

 

 

GIẢI

 

Lấy toạ độ hai điểm $A$ và $B$ thay vào vế trái của phương trình mặt phẳng , các kết quả cùng dấu (cụ thể là cùng dương) nên $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía đối với mặt phẳng $(P)$.
Ta gọi $B’$ là đối đối xứng của $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
Toạ độ hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình
july2a
Nghiệm july2b

Vậy $B'(-17;4;-1)$.
Ta có $AM+BM=AM+B’M \geqslant AB’=$ cont.Vậy $AM+BM$ nhỏ nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB’$
Vì $A$ và $B’$ nằm ở hai phía mặt phẳng $(P)$ nên $M$ cũng là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.
$\overrightarrow{AB’}=(-20;8;-8) // \overrightarrow{u}=(5;-2;2)$.

Toạ độ giao điểm của $AB’$ với mặt phẳng $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình

july2e

july2f

 

Đáp số $M(-2;-2;5)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

tuglogo 1

Để học tốt $\rm \LaTeX$ trên bitexedu

Thầy Sơn sẽ giảng bài trên TeXMaker. Do đó bạn nào đã cài TeXStudio thì …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết