Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton

Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton

Tìm hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex]

Cách 1:
Ta có:
[latex]\begin{array}{l} {\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}} = {\left[ {\left( {5{x^2} – 2x} \right) + 1} \right]^{20}}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {5{x^2} – 2x} \right)}^k}{{.1}^{20 – k}}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{x^k}C_{20}^k{{\left( {5x – 2} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {{x^k}C_{20}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {5x} \right)}^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}} } \right]} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{20}^kC_k^i{5^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}{x^{k + i}}} } \right]} \end{array}[/latex]

Số hạng của [latex]x^8[/latex] tương ứng với:

[latex]\left\{ \begin{array}{l} k + i = 8\\ 0 \le k \le 18\\ 0 \le i \le k \end{array} \right. \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {8;0} \right);\left( {7;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}[/latex]

Vậy hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển là:

[latex]\begin{array}{l} {2^8}C_{20}^8 + {2^6}.5.C_{20}^7.C_7^1 + {2^4}{.5^2}.C_{20}^6.C_6^2 + {2^2}{.5^3}.C_{20}^5.C_5^3 + {5^4}.C_{20}^4.C_4^4\\ = 32248320 + 173644800 + 232560000 + 77520000 + 3028125\\ = 519001245 \end{array}[/latex]↵

Tính toán: Cách tính toán nhanh nhất là sử dụng phím CALC.

Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex] [latex]\begin{array}{l} = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}{.1^{{n_1}}}.{\left( { – 2x} \right)^{{n_2}}}.{\left( {5{x^2}} \right)^{{n_3}}}\\ = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}.{\left( { – 2} \right)^{{n_2}}}.{\left( 5 \right)^{{n_3}}}.{x^{{n_2} + 2{n_3}}} \end{array}[/latex]

Ta có hệ phương trình:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} {n_1} + {n_2} + {n_3} = 20\\ {n_2} + 2{n_3} = 8 \end{array} \right.[/latex]

Được các bộ số của [latex]\left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)[/latex] :[latex]\left( {16;0;4} \right);\left( {15;2;3} \right);\left( {14;4;2} \right);\left( {13;6;1} \right);\left( {12;8;0} \right)[/latex]

Được hệ số của [latex]x^8[/latex] là:

[latex]\begin{array}{l} \dfrac{{20!}}{{16!.0!.4!}}.{\left( { – 2} \right)^0}{.5^4} + \dfrac{{20!}}{{15!.2!.3!}}.{\left( { – 2} \right)^2}{.5^3} + \dfrac{{20!}}{{14!.4!.2!}}.{\left( { – 2} \right)^4}{.5^2} + \\ + \dfrac{{20!}}{{13!.6!.1!}}.{\left( { – 2} \right)^6}{.5^1} + \dfrac{{20!}}{{12!.8!.0!}}.{\left( { – 2} \right)^8}{.5^0}\\ = 3028125 + 77520000 + 232560000 + 173644800 + 32248320\\ = 519001295 \end{array}[/latex]

 

Tính toán: Cách nhanh nhất là khai thác sự hỗ trợ của phím CALC. 

Chia sẻ

About Bitex Casio

Bitex Casio

Bài Viết Tương Tự

GIẢI BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN LOGARIT LỚP 11

Đề bài: (Vân dụng trang 11 sách chân trời sáng tạo toán 11) Độ lớn …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết