Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton
- 28/10/2017
- 23,568 lượt xem
Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton
Tìm hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex]
Cách 1:
Ta có:
[latex]\begin{array}{l} {\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}} = {\left[ {\left( {5{x^2} – 2x} \right) + 1} \right]^{20}}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {5{x^2} – 2x} \right)}^k}{{.1}^{20 – k}}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{x^k}C_{20}^k{{\left( {5x – 2} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {{x^k}C_{20}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {5x} \right)}^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}} } \right]} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{20}^kC_k^i{5^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}{x^{k + i}}} } \right]} \end{array}[/latex]
Số hạng của [latex]x^8[/latex] tương ứng với:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} k + i = 8\\ 0 \le k \le 18\\ 0 \le i \le k \end{array} \right. \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {8;0} \right);\left( {7;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}[/latex]Vậy hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển là:
[latex]\begin{array}{l} {2^8}C_{20}^8 + {2^6}.5.C_{20}^7.C_7^1 + {2^4}{.5^2}.C_{20}^6.C_6^2 + {2^2}{.5^3}.C_{20}^5.C_5^3 + {5^4}.C_{20}^4.C_4^4\\ = 32248320 + 173644800 + 232560000 + 77520000 + 3028125\\ = 519001245 \end{array}[/latex]↵Tính toán: Cách tính toán nhanh nhất là sử dụng phím CALC.
Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex] [latex]\begin{array}{l} = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}{.1^{{n_1}}}.{\left( { – 2x} \right)^{{n_2}}}.{\left( {5{x^2}} \right)^{{n_3}}}\\ = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}.{\left( { – 2} \right)^{{n_2}}}.{\left( 5 \right)^{{n_3}}}.{x^{{n_2} + 2{n_3}}} \end{array}[/latex]
Ta có hệ phương trình:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} {n_1} + {n_2} + {n_3} = 20\\ {n_2} + 2{n_3} = 8 \end{array} \right.[/latex]
Được các bộ số của [latex]\left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)[/latex] :[latex]\left( {16;0;4} \right);\left( {15;2;3} \right);\left( {14;4;2} \right);\left( {13;6;1} \right);\left( {12;8;0} \right)[/latex]
Được hệ số của [latex]x^8[/latex] là:
[latex]\begin{array}{l} \dfrac{{20!}}{{16!.0!.4!}}.{\left( { – 2} \right)^0}{.5^4} + \dfrac{{20!}}{{15!.2!.3!}}.{\left( { – 2} \right)^2}{.5^3} + \dfrac{{20!}}{{14!.4!.2!}}.{\left( { – 2} \right)^4}{.5^2} + \\ + \dfrac{{20!}}{{13!.6!.1!}}.{\left( { – 2} \right)^6}{.5^1} + \dfrac{{20!}}{{12!.8!.0!}}.{\left( { – 2} \right)^8}{.5^0}\\ = 3028125 + 77520000 + 232560000 + 173644800 + 32248320\\ = 519001295 \end{array}[/latex]
Tính toán: Cách nhanh nhất là khai thác sự hỗ trợ của phím CALC.