Đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của hiệu hai khoảng cách

1. Bài toán mở đầu

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một  phía với mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhất.

july3a 1

GIẢI

 

 

 

july3b
 
 
 

Ta có $|AM-BM| \leqslant AB =\text{const}$

Vì $AB$ là hằng số nên $|AB-BM|$ đạt giá trị lớn nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng  $AB$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.

Vì $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía đối với mặt phẳng nên $M$  là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$.

 
 
 
 

2. Bài toán mở rộng

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về  hai phía mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $|AM-BM|$ đạt giá trị lớnỏ nhất.

 

july3c

GIẢI

 

Gợi ý: Nếu ta giải như trên

Ta có $|AM-BM| \leqslant AB = \text{const}$

Vì $AB$ là hằng số nên $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.

Với giả thiết hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng nên điều này không thể xảy ra.

 

Do đó ta phải cải tiến thuật toán như sau:

  1. 1. Gọi $B’$ là điểm đối xứng của điểm $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
  2. 2. Khi đó $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{const}$. Vậy $|AM-BM|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
  3. 3. Vì $A$ và $B’$ nằm cùng một phía đối với mặt phẳng $(P)$ nên $M$ nhưu thế hoàn toàn được xác định và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.

 
 

july3d 1

 
 
 

3. Áp dụng bằng số

 

Trong không gian $Oxyz$ cho một mặt phẳng $(P): 2x+3y-4z-15=0$ và hai điểm $A(5;2;-7)$ và $B(7;-25;10)$. Tìm trên mặt phẳng $(P)$ điểm $M$ sao cho $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhất.

 

 

GIẢI

 

Lấy toạ độ hai điểm $A$ và $B$ thay vào vế trái của phương trình mặt phẳng , các kết quả trái dấu nên $A$ và $B$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(P)$.
Ta gọi $B’$ là đối đối xứng của $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
Toạ độ hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình
july3e
Vậy $B'(23;-1;-22)$.
Ta có $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{cont}$ .Vậy $|AM-B|M$ lướn nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
 

Vì $A$ và $B’$ nằm về cùng một phía mặt phẳng $(P)$ nên điểm $M$ tồn tại và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.
$\overrightarrow{AB’}=(18;-3;-15) // \overrightarrow{u}=(6;-1;-5)$.

Toạ độ giao điểm của $AB’$ với mặt phẳng $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình

july3f

Đáp số $M(-1;3;-2)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

SOLVE lg

SỬ DỤNG LỆNH SOLVE TRÊN CASIO FX 580VNX ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Diễn đàn Toán Casio có một vài bài viết chia sẽ các "thủ thuật" sử dụng máy tính Casio để giải quyết các phương trình lượng giác chia sẻ đến các bạn học sinh với mong muốn giúp các bạn khai thác và tận dụng những ưu thế mà máy tính có được trong quá trình học tập của các bạn.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết