Đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của hiệu hai khoảng cách

1. Bài toán mở đầu

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về cùng một  phía với mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhất.

july3a 1

GIẢI

 

 

 

july3b
 
 
 

Ta có $|AM-BM| \leqslant AB =\text{const}$

Vì $AB$ là hằng số nên $|AB-BM|$ đạt giá trị lớn nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng  $AB$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.

Vì $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía đối với mặt phẳng nên $M$  là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$.

 
 
 
 

2. Bài toán mở rộng

 

Trong không gian cho một mặt phẳng $(P)$ và hai điểm $A$ và $B$ nằm về  hai phía mặt phẳng. $M$ là một điểm thay đổi trên $(P)$. Xác định vị trí của $M$ để $|AM-BM|$ đạt giá trị lớnỏ nhất.

 

july3c

GIẢI

 

Gợi ý: Nếu ta giải như trên

Ta có $|AM-BM| \leqslant AB = \text{const}$

Vì $AB$ là hằng số nên $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.

Với giả thiết hai điểm $A$ và $B$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng nên điều này không thể xảy ra.

 

Do đó ta phải cải tiến thuật toán như sau:

  1. 1. Gọi $B’$ là điểm đối xứng của điểm $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
  2. 2. Khi đó $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{const}$. Vậy $|AM-BM|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
  3. 3. Vì $A$ và $B’$ nằm cùng một phía đối với mặt phẳng $(P)$ nên $M$ nhưu thế hoàn toàn được xác định và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.

 
 

july3d 1

 
 
 

3. Áp dụng bằng số

 

Trong không gian $Oxyz$ cho một mặt phẳng $(P): 2x+3y-4z-15=0$ và hai điểm $A(5;2;-7)$ và $B(7;-25;10)$. Tìm trên mặt phẳng $(P)$ điểm $M$ sao cho $|AM-BM|$ đạt giá trị lớn nhất.

 

 

GIẢI

 

Lấy toạ độ hai điểm $A$ và $B$ thay vào vế trái của phương trình mặt phẳng , các kết quả trái dấu nên $A$ và $B$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(P)$.
Ta gọi $B’$ là đối đối xứng của $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
Toạ độ hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình
july3e
Vậy $B'(23;-1;-22)$.
Ta có $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{cont}$ .Vậy $|AM-B|M$ lướn nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
 

Vì $A$ và $B’$ nằm về cùng một phía mặt phẳng $(P)$ nên điểm $M$ tồn tại và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.
$\overrightarrow{AB’}=(18;-3;-15) // \overrightarrow{u}=(6;-1;-5)$.

Toạ độ giao điểm của $AB’$ với mặt phẳng $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình

july3f

Đáp số $M(-1;3;-2)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

lượng giác

SỬ DỤNG CASIO fx 580VNX ĐỂ GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT SIN, COS- PHẦN 4

Tiếp nối các phần trước đây,Diễn đàn Toán Casio sẽ đưa ra thêm một vài phương trình lượng giác thường gặp trong Toán lớp 11 để các bạn luyện tập

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết