Sử dụng tính đối xứng của biểu thức trong căn thức tìm nghiệm duy nhất

Đề bài: Tìm giá thực của tham số [latex]m[/latex] để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

[latex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=m[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]0\leqslant x\leqslant 1[/latex]

Đặt [latex]f\left ( x \right )=\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}[/latex]

Thấy rằng [latex]f\left ( x \right )=f\left ( 1-x \right )[/latex]

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất thì [latex]x=1-x\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}[/latex]

Thay vào vế trái phương trình ta có [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Thử lại với [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

[latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\leqslant \sqrt{2}, \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt[4]{8}[/latex]

Do đó [latex]\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+ \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{1-x}\leqslant \sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex]

Đẳng thức xảy ra khi [latex]x=\frac{1}{2}[/latex]

Vậy [latex]m=\sqrt{2}+\sqrt[4]{8}[/latex] là giá trị cần tìm. 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

ÔN TẬP TUYỂN SINH 10- CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

Bài viết này sẽ tổng hợp các kiến thức cơ bản cần nắm vững về …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết