PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÂM TỶ CỰ ĐỂ TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ

Tìm điểm M để thỏa mãn một biểu thức đại giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian Oxyz. Thông qua phương pháp tâm tỷ cự.

Ví dụ 1: (Câu 47 Đề Thi Thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm [latex]A(0;0; – 1),{\text{ }}B( – 1;1;0),{\text{ }}C(1;0;1)[/latex] Tìm điểm M sao cho [latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2}[/latex] đạt giá trị nhỏ nhất.

[latex]A)M\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]       [latex]B)M\left( { – \frac{3}{4}; – \frac{1}{2};1} \right)[/latex]     [latex]C)M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2};2} \right)[/latex]                 [latex]D)M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]

Giải

Gọi [latex]I\left( {x;y;z} \right)[/latex] thỏa mãn [latex]3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} – \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0[/latex] Ta có hệ phương trình sau để tìm điểm [latex]I[/latex]

[latex]\left\{ \begin{gathered} – 4x – 3 = 0 \hfill \\ – 4y + 2 = 0 \hfill \\ – 4z – 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{ – 3}}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]

Ta có

[latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + 3I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IB} + 2I{B^2} – M{I^2} – 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IC} – I{C^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} – \overrightarrow {IC} ) + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]

Vậy [latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2}[/latex] nhỏ nhất khi [latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]   nhỏ nhất. Mà I là điểm cố định nên [latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]  nhỏ nhất. Khi [latex]MI^2[/latex] nhỏ nhất khi [latex]M\equiv I[/latex].

Vậy  [latex]M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex] . Chọn câu D.

Ví dụ 2: ( Câu 43 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia- Trường Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  , cho tam giác ABC  với [latex]A(1;0;0),{\text{ }}B(3;2;4),{\text{ }}C(0;5;4)[/latex]. Tìm tọa độ  M thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|[/latex] nhỏ nhất.

[latex]A).M(1; – 3;0)[/latex]               [latex]B).M(1;  3;0)[/latex]            [latex]C).M(3; 1;0)[/latex]

          [latex]D).M(2; 6;0)[/latex]         

Giải

Cũng như ví dụ 1. Ta gọi điểm I sao cho thỏa mãn hệ thức cân tính.

Gọi [latex]I\left( {x;y;z} \right)[/latex] thỏa mãn \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0  Ta dễ dàng tìm được điểm [latex]I(1;3;3)[/latex] .

Ta có: [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {2IC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {2IC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right|[/latex]

Vậy [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|[/latex] đạt giá trị nhỏ nhất khi [latex]M[/latex] là hình chiếu của [latex]I[/latex]  trên mặt phẳng  [latex]Oxy[/latex] 

Vậy . [latex]M(1;  3;0)[/latex]  Chọn B 

Chia sẻ

About toancasiobitex

Toancasiobitex

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (2)

Sử dụng PPTĐ trong không gian. Nhận xét rằng nếu một hình lăng trụ, hoặc …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết