PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÂM TỶ CỰ ĐỂ TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ TRONG HỆ TỌA ĐỘ OXYZ

Tìm điểm M để thỏa mãn một biểu thức đại giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian Oxyz. Thông qua phương pháp tâm tỷ cự.

Ví dụ 1: (Câu 47 Đề Thi Thử THPT QG Trường THPT Lương Thế Vinh).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm [latex]A(0;0; – 1),{\text{ }}B( – 1;1;0),{\text{ }}C(1;0;1)[/latex] Tìm điểm M sao cho [latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2}[/latex] đạt giá trị nhỏ nhất.

[latex]A)M\left( {\frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]       [latex]B)M\left( { – \frac{3}{4}; – \frac{1}{2};1} \right)[/latex]     [latex]C)M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2};2} \right)[/latex]                 [latex]D)M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]

Giải

Gọi [latex]I\left( {x;y;z} \right)[/latex] thỏa mãn [latex]3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} – \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0[/latex] Ta có hệ phương trình sau để tìm điểm [latex]I[/latex]

[latex]\left\{ \begin{gathered} – 4x – 3 = 0 \hfill \\ – 4y + 2 = 0 \hfill \\ – 4z – 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{ – 3}}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex]

Ta có

[latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2} = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IA} + 3I{A^2} + 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IB} + 2I{B^2} – M{I^2} – 2\overrightarrow {MI} \overrightarrow {IC} – I{C^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} (3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} – \overrightarrow {IC} ) + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]

[latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]

Vậy [latex]3M{A^2} + 2M{B^2} – M{C^2}[/latex] nhỏ nhất khi [latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]   nhỏ nhất. Mà I là điểm cố định nên [latex]{\text{ = }}4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} – I{C^2}[/latex]  nhỏ nhất. Khi [latex]MI^2[/latex] nhỏ nhất khi [latex]M\equiv I[/latex].

Vậy  [latex]M\left( { – \frac{3}{4};\frac{1}{2}; – 1} \right)[/latex] . Chọn câu D.

Ví dụ 2: ( Câu 43 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia- Trường Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz  , cho tam giác ABC  với [latex]A(1;0;0),{\text{ }}B(3;2;4),{\text{ }}C(0;5;4)[/latex]. Tìm tọa độ  M thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|[/latex] nhỏ nhất.

[latex]A).M(1; – 3;0)[/latex]               [latex]B).M(1;  3;0)[/latex]            [latex]C).M(3; 1;0)[/latex]

          [latex]D).M(2; 6;0)[/latex]         

Giải

Cũng như ví dụ 1. Ta gọi điểm I sao cho thỏa mãn hệ thức cân tính.

Gọi [latex]I\left( {x;y;z} \right)[/latex] thỏa mãn \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0  Ta dễ dàng tìm được điểm [latex]I(1;3;3)[/latex] .

Ta có: [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {2IC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {2IC} } \right| = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right|[/latex]

Vậy [latex]\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|[/latex] đạt giá trị nhỏ nhất khi [latex]M[/latex] là hình chiếu của [latex]I[/latex]  trên mặt phẳng  [latex]Oxy[/latex] 

Vậy . [latex]M(1;  3;0)[/latex]  Chọn B 

Chia sẻ

About toancasiobitex

Toancasiobitex

Bài Viết Tương Tự

ÔN TẬP TUYỂN SINH LỚP 10- HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Vẽ đồ thị hàm số là bài toán luôn xuất hiện ở hầu hết các …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết