BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
TOÁN TÀI CHÍNH: XỬ LÝ BÀI TOÁN TRẢ NỢ DẦN TRÊN CASIO FX 9860GII SD
- 08/07/2019
- 513 lượt xem
Trong phần này, trên Diễn Đàn Toán Casio chúng ta phân tích khía cạnh toán học của việc trả hết các khoản vay. Các khoản vay này sẽ được hoàn trả trong một chuỗi các khoản thanh toán bằng nhau trong khoảng thời gian thường xuyên, với các khoảng thời gian thanh toán trùng với các kỳ phát sinh kỳ lãi. Quá trình thanh toán khoản vay như vậy được gọi là khấu hao.
Giả sử $P$ là khoản vay này, $R$ là số tiền trả dần theo một kỳ han nhất định (ví dụ vào cuối mỗi tháng kể từ tháng đầu tiên ngay sau khi vay hoặc đầu mỗi tháng kể từ tháng thứ hai). Lãi suất được ấn định là $i$ đánh trên số dư nợ. Trong bài này chúng ta giả sử tiền nợ trả sẽ được thanh toán vào cuối mỗi tháng kể từ tháng đầu tiên.
Số dư nợ sau tháng thứ nhất là:
$P_1=P(1+i)-R$ (1)
Số dư nợ sau tháng thứ hai là:
$P_2=P_1(1+i)-R$ (2) ………
Số dư nợ sau tháng thứ $n-1$ là:
$P_{n-1}=P_{n-2}(1+i)-R$ (n-1)
Số dư nợ sau tháng thứ $n$ là:
$P_n=P_{n-1}(1+i)-R$ (n)
Nhân phương trình $(j)$ cho $(1+i)^{n-j}$ với $1\leqslant j \leqslant n$ ta có:
$(1+i)^{n-1}P_1=P(1+i)^n-(1+i)^{n-1} R$
$(1+i)^{n-2}P_2=P_1(1+i)^{n-1}-(1+i)^{n-2}R$
………
$(1+i)P_{n-1}=P_{n-2}(1+i)^{2}-(1+i)R$
$P_n=P_{n-1}(1+i)-R$
Cộng các phương trình trên vế theo vế ta có:
$$P_n=P(1+i)^n-R \sum_{j=1}^{n}(1+i)^{j-1}$$
$$P_n=P(1+i)^n-R\times \dfrac{(1+i)^n-1}{1+i-1}=P(1+i)^n-R\times \dfrac{(1+i)^n-1}{i}$$
|
$$P_n=P(1+i)^n-\dfrac{R}{i}\Big[(1+i)^n-1\Big]$$ |
Đến khi số dư nợ $P_n=0$ ta có phương trình:
|
$$P(1+i)^n=\dfrac{R}{i}\Big[(1+i)^n-1\Big]$$ |
Ví dụ: Đề thi thử THPTQG 2019 Chuyên ĐH Vinh (lần 2).
Sau khi tốt nghiệp đại học, anh Nam thực hiện một dự án khởi nghiệp. Anh vay vốn từ ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0, 6% một tháng. Phương án trả nợ của anh Nam là: cuối mỗi tháng kể từ tháng đầu tiên anh bắt đầu trả nợ, hai lần trả nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền trả của mỗi lần là như nhau và hoàn thành sau đúng 5 năm kể từ khi vay. Tuy nhiên, sau khi dự án có hiệu quả và đã trả nợ được 12 tháng theo phương án cũ anh Nam muốn rút ngắn thời gian trả nợ nên từ tháng tiếp theo, mỗi tháng anh trả nợ cho ngân hàng 9 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng từ thời điểm vay anh Nam trả hết nợ ?
Ghi chú: Chúng tôi có điều chỉnh lại đề bài cho phù hợp với chủ đề đang thảo luận.
Giải:
Giải phương trình $$200(1+0,6\%)^{60}=\dfrac{R}{0,6\%}\left((1+0,6\%)^{60}-1\right)$$
Kết quả: 
lưu vào $A$.
Số dư nợ sau 12 tháng của anh Nam theo phương án 1 là $$200(1+0,6\%)^{12}-\dfrac{A}{0,6\%}((1+0,6\%)^{12}-1)$$
lưu vào $B$.
Chuyển sang phương án 2, anh Nam mất khoảng thời gian sau để trả hết nợ:
$$B(1+0.6\%)^n=\dfrac{9}{0,6\%}((1+0,6\%)^n-1)$$
$\approx 20$(tháng)
Vậy anh Nam sẽ mất 32 tháng để hoàn trả nợ vay.
Để kết thúc bài học này, ta giải bài toán với tính năng TVM của máy tính Casio fx-9860 GII SD.
1. Số tiền anh Nam trả hàng tháng theo phương án ban đầu:
2. Sau khi trả hết 12 tháng theo phương án ban đầu, số dư nợ của anh Nam như sau:
3. Theo phương án 2 với số dư nợ trên và số tiền trả hàng tháng là 9 triệu, thời gian còn lại để anh Nam trả hết khoản vay là:
4. Vậy thời gian anh Nam trả hết khoản vay sau khi trãi qua liên tiếp 2 phương án trả nợ là $32$ tháng.
.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
