Giải câu 49 đề thi TN THPT mã đề 101

bai49

 

GIẢI

w1a 1

Gợi ý:
 

  1. $\bullet\ $Hai đoạn thẳng $AM$ và $BN$ rời nhau ta đưa chúng về hai đoạn thẳng gấp khúc, tức là tạo bởi ba điểm như các bài toán cổ điển. Xem thêm bài

    Tìm giá trị lớn nhất của hiệu hai khoảng cách

  2. $\bullet\ $ Dùng phép đối xứng qua mặt phẳng để thay $AM=A’M$ và dùng phép tịnh tiến để thay $BN=B’M$. Lúc này bài toán GTLN trở thành $|A’M-B’M|$ đã biết cách giải.

 

Gọi $A’$ là điểm đối xứng của $A$ qua mặt phẳng $(Oxy)$ và gọi $B’$ là điểm sao cho $\overrightarrow{BB’}=\overrightarrow{NM}$.

w1b

Khi đó $|AM-BN|=|A’M-B’M|\leqslant A’B’.$

Ta thấy $B’$ nằm trên mặt phẳng cố định đi qua $B$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$, mặt phẳng này có phương trình $z=2$ (vì $z_B=2$). Ngoài ra vì $BB’=2$ nên $B’$ chạy trên đường tròn tâm $B$ bán kính 2 vẽ trong mặt phẳng nói trên.

w1c

Vì $A(1;-3;-4)$ nên $A'(1;-3;4)$ (do tính chất đối xứng qua mặt phẳng $z=0$) và $H(1;-3;2)$.

$B(-2;1;2)$ nên $HB=5$, $A’H=2$

Ta có $|AM-BN|=|A’M-B’M|\leqslant A’B’=\sqrt{A’H^2+HB’^2} \quad (1)$

Trong đó $A’H=2$ và $HB’\leqslant HB+BB’=5+2=7 \quad (2)$.

Do đó $|AM-BN|\leqslant \sqrt{4+49}=\sqrt{53}.$

Xảy ra dấu “bằng” khi và chỉ khi các bất đẳng thức (1) và (2) xảy ra dấu “bằng”.

(1) xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $M$ nằm trên đường thẳng $A’B’$ và nằm ngoài đoạn $A’B’$.

(2) xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi $B’$ nằm trên đoạn $HB$.
 
 
 

Hình vẽ sau đây chỉ ra vị trí chính xác của các điểm $%M$ và $N$ trên mặt phẳng $(Oxy)$ để xảy ra dấu “bằng”.
 

Tóm lại GTLN của $|AM-BN|$ là $\sqrt{53}$.

 
 
 

PS. Dành riêng cho các em đang học 12 (học hè hết chương trình 12 🙂 ):
 
 

Hãy xác định toạ độ của hai điểm $M$ và $N$ để $|AM-BN|$ đạt giá trị lớn nhất.
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

vt 1

Tích vectơ kép của ba vec tơ và ứng dụng

Bài toán Trong không gian cho ba vectơ: $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$. Thay vì ký …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết