Các tính toán trong khối tứ diện, giải bài toán Hình học kỳ thi HSG MTCT

Bài 8. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4,5; BC = 6,3; CA = 5,7$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$; $N$
là điểm trên cạnh $AC$ sao cho $AC = 3AN$ và $AM$ cắt $BN$ tại $I$. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng $(ABC)$ tại $I$, lấy điểm $S$ sao cho $SI = 6$. Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ
số thập phân sau dấu phẩy):
  1. Độ dài các cạnh $SA, SB, SC$ của tứ diện $SABC$.
  2. Chiều cao $BK$ của tứ diện $SABC$.
  3. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$.

 

hkg1

Ta có

$\left.\begin{array}{l}a=\dfrac{CN}{CA}=\dfrac23\\ b=\dfrac{CM}{CB}=\dfrac12\end{array}\right\}\Rightarrow \dfrac{AI}{AM}=\dfrac{1-a}{1-ab}=\dfrac12\quad \text{và}\quad \dfrac{BI}{BN}=\dfrac34.$

Trong đó $AM=\sqrt{\dfrac{AB^2+AC^2-\dfrac{BC^2}{2}}{2}}=$hkg1alưu vào x.

 

Suy ra $AI=$hkg1b 1. Do đó $SA=$ hkg1c 1

hkg2c hkg2b hkg2a

Ta có:

$BN^2=AB^2+AN^2-2AB.AN.\cos A$ suy ra $BN=$hkg2d

lưu vào y.
Vậy $IB=$hkg2e. Do đó $SB=$hkg2f

Cuối cùng ta có $IC^2=BI^2+BC^2-2BI.BC\cos \widehat{NBC}$

 

suy ra $IC=$hkg2g

Do đó $SC=$hkg2h

 

2) Tính chiều cao $BK$ của khối tứ diện $SABC$

$$BK.S_{SAC}=SI.S_{ABC}$$

Dùng công thức Hê-rông tính $S_{SAC}$:

hkg3a hkg3b lưu vào x.

Dùng công thức Hê-rông tính $S_{ABC}$:

hkg3c hkg3d lưu vào y.

 

Vậy $BK=$hkg3e

c) Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp  tứ diện $SABC$.

$$R=\dfrac{S}{6V}$$

trong đó $V$ là thể tích khối  tứ diện $SABC$.

$S$ là “diện tích” của một khối diện có các cạnh là tích của các cặp cạnh đối diện của khối tứ diện $SABC$, cụ thể là ba “cạnh” $D\times a, E\times b, F\times c$.

 hkg4c hkg4b hkg4a hkg4d

$S=$ hkg4e

$V=\dfrac13\times 6 y$ 

Kết luận $R=\dfrac{S}{6V}= $ hkg4f

 

 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ ĐÁP ÁN

Bài 8. Cho tam giác ABC có $AB= 3, 5 ; BC=5, 3 ; CA= 4, 8$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ ; $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BC= 3 BN$ và $BM$ cắt $AN$ tại $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $( ABC )$ tại $I$ , lấy điểm $S$ sao cho $SI= 7$ . Tính gần đúng (chính xác đến 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy):
  1. Độ dài các cạnh $SA , SB , SC$ của tứ diện $SABC$.
  2. Chiều cao BK của tứ diện $SABC$.
  3. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$.
Đáp án: $SA\approx 7,38$, $SB\approx 7,25$, $SC\approx 7,89$, $BK\approx 3,32$ , $R \approx 4,07$.
Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

vt 1

Tích vectơ kép của ba vec tơ và ứng dụng

Bài toán Trong không gian cho ba vectơ: $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$. Thay vì ký …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết