Một bài MOD 2015^2015

Đề bài: Tìm dư khi chia [latex]A=1^{2015}+2^{2015}+\,…\,+2015^{2015}[/latex] cho 11.

Bài giải

Ta chia thành các nhóm sau để tìm dư:

+ Nhóm 1: Các số từ 1 tới 11, nhưng vì [latex]11^{2015} \vdots 11[/latex] nên thực chất ta chỉ xét từ 1 tới 10.

+ Nhóm 2: Các số từ 12 tới 22, và cũng tương tự, ta chỉ xét tới 21.

… v.v

Số nhóm cần tách là: [latex]2015:R11= 183[/latex] nhóm.

Mặt khác ta có công thức sau:

[latex](a+b)^n\equiv b^n\,(\text{mod }a\,\,\,(a>0)[/latex]

Ta đi tính dư:

[latex]\begin{cases}1^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\2^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\3^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\4^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\5^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\6^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\7^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\8^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\9^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\10^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\end{cases} [/latex]

Vậy

$$\begin{array}{*{20}{c}}
{}&A& \equiv &{{1^{2015}} + {2^{2015}} + … + {{2015}^{2015}}}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{(1 \times 5 + 10 \times 5).\frac{{2013}}{{11}} + {{2014}^{2015}} + {{2015}^{2015}}}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{55 \times 183 + 1 + 10}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{0({\rm{mod}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 11)}
\end{array}$$

 

  

Chia sẻ

About TailieuCasio

TailieuCasio

Bài Viết Tương Tự

thmbnail

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ THCS

Dưới đây là một số bài toán thực tế THCS chúng tôi đã tham khảo và sưu tầm được từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết