TÌM SỐ TỰ NHIÊN MÀ LẬP PHƯƠNG CÓ TẬN CÙNG LÀ 4 SỐ CHO TRƯỚC

Lấy ví dụ câu 5 đề thi chọn đội tuyển TP HCM năm học 2015-2016

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho lập phương của nó có tận cùng là 4 chữ số 1.

Gợi ý:

  1. Ta có nhận xét có duy nhất một chữ số mà lập phương bằng 1 đó là số 1.
  2. Xét số có hai chữ số với chữ số đơn vị là 1 và lập phương số đó cau401 ta có duy nhất một số mà lập phương của nó có tận cùng là 11 đó là số 71:  cau402  
  3. Xét số có ba chữ số với chữ số chục là 7 và đơn vị là 1 và lập phương số đó
    cau403 ta có duy nhất một số mà lập phương có tận cùng 111, đó là số 471: cau404
  4. Xét số có bốn chữ số với chữ số trăm là 4, chữ số chục là 7 và đơn vị là 1 và lập phương số đó, nhận xét rằng $(471+1000x)^3=471^3+3\times 471^2\times 1000x+ 3\times (1000x)^2\times 471+(1000x)^3$ nên ta chỉ xét bộ phận $471^3+3\times 471^2\times 1000x$ cau405 kết quả  cau406
  5. Vậy số cần tìm là 8471.

Lưu ý dành cho GV phụ trách đội tuyển:

  • Trong các bảng trên ta đều chọn phạm vi là cau40chung
  • Các hằng đẳng thức

$(1+10x)^3=1^3+3\times 10x +3(10x)^2+(10x)^3$

$(71+100x)^3=71^3+3\times 71^2\times 100x+3\times (100x)^2\times 71+(100x)^3$

$(471+1000x)^3=471^3+3\times 471^2\times 1000x+ 3\times (1000x)^2\times 471+(1000x)^3$

cho ta nhận xét rằng các số $1^3, 71^3, 471^3$ bảo lưu được các chữ số 1 tận cùng cho phép lập phương tiếp theo. 

  • Ta tiếp tục theo tiến trình này 

$(8471+10000x)^3=8471^3+3\times 8471^2\times 10000x+ \dots$

vì $8471^3=5428671111$ nên ta muốn tìm $x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ sao cho chữ số đơn vị của phép tính $3\times 8471^2x$ cau407 là chữ số 4.  

cau408

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 5 chữ số 1 là số 88471 và $88471^3=6924729425$11111

  • Ta muốn tìm $x \in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ sao cho chữ số đơn vị của phép tính $3\times 88471^2x$ b1 1 là chữ số 6

    Với $x=1$ ta có b2

    Với b3 ta có b4

    $x=2$ là số cần tìm.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất mà lập phương của nó có tận cùng là 6 chữ số 1 là số 288471.

$$288471^3=24005263647111111$$

HẾT

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Capture

ỨNG DỤNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ THCS

Trong bài viết này, Diễn đàn muốn chia sẻ đến bạn đọc một vài bài …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết